Esercizio di algebra con ideali

[Chadwick]

Nell'anello $ZZ[i]$ si considerino gli ideali $I=(7+i)$ e $J=(4+2i)$. Determinare gli ideali $I+J$ e $InnJ$ e dire se $I+J$ è un ideale primo.

Per la somma, io avevo pensato di sommare direttamente i rappresentanti dei due ideali, mentre per l'interesezione mi hanno suggerito di fare il mcm tra i due. Per il terzo punto, però, non ho idee. Mi potete aiutare?

[rubik]

il primo credo che fare la somma dei generatori non serva. Piuttosto farei il MCD in quanto (mi pare)

$I+J={a(7+i)+b(4+2i)| a,binZZ[i]}$ il che equivale a prendere l'ideale generato dal MCD

il secondo va bene come dici te, per il terzo proverei a fare il quoziente $(ZZ[i])/(I+J)$ e vedere se viene un dominio d'integrità oppure siccome $ZZ[i]$ è a un dominio principale è sufficente vedere se il generatore dell'ideale è primo (quest'ultima cosa non sono molto sicuro)