Due esercizi urgenti sui quaternioni

[matths87]

1) Per un quaternione $q=a+bi+cj+dk$ denotiamo con $\Re(q)$ il numero reale $a$ e la chiamiamo parte reale di $q$. Provare che se $0!=q^2\inRR$ e $q$ non appartiene a $RR$, allora $\Re(q)=0$ e $q^2<0$.

2) Dimostrare che per un elemento $q$ del gruppo $(\mathbb{H}\setminus{0},*)$ valgono le seguenti proprietà:
a) se $\Re(q)=0$, allora $q^2=-||q||^2$;
b) se $q$ è periodico, allora $||q||=1$;
c) se $q!=+-1$, allora $q$ ha periodo 4 se e solo se $\Re(q)=0$ e $||q||=1$.

Sarò grato a chiunque mi darà uno spunto per risolvere almento uno dei quesiti.

[matths87]

Ho risolto il primo punto del secondo esercizio, basta scrivere per esteso il prodotto di due generici quaternioni.

[rubik]

forse è una domanda stupida ma come è definita la norma?

[matths87]

la norma di un quaternione $q$ è:

$||q||=\sqrt(a^2+b^2+c^2+d^2)\inRR$