Equazione ricorrente in $NN_0$

[Ene@]

Risolvere mediante la $ccZ$ trasformazione il seguente problema ai valori iniziali:

${(y_(n+2)-y_n=2Re(1-j^n)),(y_0=y_1=1):}

[elgiovo]

Trasformando ambo i membri dell'equazione di ricorrenza, si ottiene
$sum_(n=0)^oo y_(n+2)x^n-sum_(n=0)^oo y_nx^n=2sum_(n=0)^oo Re(1-j^n)x^n$. Denominando $Y(x)=y_0+y_1x+y_2x^2+ldots$,
si ha $(Y(x)-y_0-y_1x)/x^2 - Y(x)=2sum_n Re(1-j^n)x^n$. Si deve calcolare quanto vale il RHS: a tale scopo rimando
a quanto detto qui: http://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=19850.
Vediamo perchè: $Re(1-j^n)$ è una funzione periodica di $n$, che assume ripetutamente i valori $0,1,2,1$.
Se questa funzione viene moltiplicata per $x^n$, viene "pescato" uno ogni quattro termini delle serie
(1) $1+x+x^2+x^3+ldots$, (2) $x+x^2+x^3+ldots$, (3) $x^2+x^3+x^4+ldots$, (4) $x^3+x^4+x^5+ldots$.
La serie (1) non contribuisce alla somma, perchè il numero ad essa associata è $0$.
Le altre contribuiscono alla somma nel modo seguente:
$sum_n Re(1-j^n)x^n=[chi_1(x)+chi_2(x)+chi_1(x)]=1/4sum_k (omega_kx)/(1-omega_kx)+1/2sum_k(omega_kx)^2/(1-omega_kx)+1/4sum_k (omega_kx)^3/(1-omega_kx)$
dove le somme sono estese alle radici quarte dell'unità (le $omega_k$). Con qualche conto,
$2sum_n Re(1-j^n)x^n=(8x^4)/((x + 1)(1 - x)(x^2 + 1))$. Tornando all'equazione in $Y(x)$, si ha banalmente
$Y(x)=(8x^6 - x^5 - x^4 + x + 1)/((x + 1)(x - 1)(x^2 + 1)(x^2 - 1))=- 2/(x^2 + 1) + 1/(x - 1)^2 + 3/(x - 1) + 1/(x + 1)^2 - 4/(x + 1) + 8$
che è la funzione generatrice associata alla serie ${y_n}_(n=0)^oo$.
Antitrasformando (facendo attenzione a considerare $x$ come $z^(-1)$), si ottiene
$y_n=ccZ^(-1)[Y(1/z)]=1+[-3-3(-1)^n-(-j)^n-j^n+n(-1)^n]cdotH(-1+n)$.
($H$ è la funzione gradino di Heaviside).

[Ene@]

Ma non è possibile determinare direttamente $Re(1-j^n)$?

[elgiovo]

Direi di no. Al più, $Re(1-j^n)=1-cos(n pi/2)$, che non mi sembra di aiuto.