Un paio di esercizi

[Steven]

Ciao a tutti
Cimentandomi con qualche esercizio, ne ho trovati due che vorrei sottoporvi.
Uno lo ho risolto, si tratta di una conferma quindi, per l'altro mi serve qualche consiglio.

Mostrare che per quasiasi $a$ intero, esiste un altro intero $b$ tale che
$11|b^2-5a^2$
Praticamente la tesi equivale a
$b^2-5a^2\equiv0(mod11)->b^2\equiv5a^2(mod11)->b^2\equiv16a^2(mod11)$
Da cui ottengo
$b\equiv+-4a(mod11)$
In definitiva per ogni $a$ esiste un $b$ nelle forme
$b=4a+11k$
$b=-4a+11k$
Corretto?
Le soluzioni son giuste, si verifica banalmente per sostituzione, però magari potrei ignorare l'esistenza di altre famiglie di soluzioni...

Per il secondo, invece devo mostrare che la congruenza
$b^2+5a^2\equiv0(mod11)$
non ha soluzioni se $(a,b)=1$
Qui sto con le mani legate perchè agendo come prima mi ritrovo
$b^2\equiv-16a^2(mod11)$
e non posso estrarre la radice per togliere i quadrati.
Che strategia potrei seguire qui?

Spero di essere stato chiaro.
Buona giornata,
Stefano

[fields]

Il primo esercizio non ti chiede di trovare tutte le soluzioni, ne basta una.

Il secondo:

per assurdo sia $b^2=-16a^2 (mod 11)$.

Allora, poiché $11$ non divide $b$ (altrimenti $11$ dividerebbe anche $a$) e poiché $Z_11$ e' un campo, moltiplicando ambo i membri per $(b^(-1))^2$ otteniamo

$1=-16(ab^(-1))^2 (mod 11)$

e dunque

$-1=(4ab^(-1))^2 (mod 11)$

assurdo perche' non esiste $x\in ZZ$ tale che $x^2=-1 (mod 11)$.

[Steven]

Grazie
Una cosa però devo chiederti: tu in pratica ottieni
$1\equiv -16(a*b^(-1))^2(mod11)$
Però
$a*b^(-1)$ non è un intero dato che per ipotesi $a$ e $b$ sono coprimi; io sapevo che in una congruenza si lavora solo con numeri in $ZZ$.
Cosa sbaglio?
Ciao

[TomSawyer]

$b^(-1)$ è l'inverso di $b$, modulo $11$ in quel caso.

[Steven]

$b^(-1)$ è l'inverso di $b$, modulo $11$ in quel caso.

Ah, va bene.
Purtroppo non ho mai avuto modo di usare l'inverso aritmetico in esercizi (anche se conoscevo come è definito), quindi non l'ho considerato...
Visto che capita, non è che potete dirmi se ci sono particolari contesti e/o tipologia di problemi viene utilizzato?
Grazie.

[fields]

Be', il concetto di inverso modulo $n$ è talmente fondamentale che è sempre utile. Se $b^(-1) (mod n)$ esiste significa che puoi effettuare la divisione per $b$ modulo $n$. Quindi se sai perché è utile la divisione con i numeri reali, allora sai automaticamente la risposta anche per gli interi modulo $n$.

Se vuoi proprio un esempio, che ne so: risolvere l'equazione $ax+b=0 (mod n)$, supponendo $MCD(a,n)=1$.

[Steven]

Be', il concetto di inverso modulo $n$ è talmente fondamentale che è sempre utile. Se $b^(-1) (mod n)$ esiste significa che puoi effettuare la divisione per $b$ modulo $n$. Quindi se sai perché è utile la divisione con i numeri reali, allora sai automaticamente la risposta anche per gli interi modulo $n$.

Se vuoi proprio un esempio, che ne so: risolvere l'equazione $ax+b=0 (mod n)$, supponendo $MCD(a,n)=1$.

D'accordo, ora ho capito bene. Evidentemente non sono ancora entrato del tutto nell'ottica del modulo.
Grazie per la pazienza, buon weekend.
Ciao.