esercizio di algebra 1: ridurre polinomi!

[Marty84]

Buongiorno a tutti!

non ho ben presente come si procede con un esercizio di questo genere:

Decomporre in fattori irriducibili il polinomio di $frac{ZZ}{pZZ(x)}$

$x^4+2*x^3-x-2$ con $p=3$

Ho la sensazione che sia banale ma non ho trovato un riscontro sul libro e vorrei essere sicura di farlo in modo corretto.
Grazie a tutti!

[matths87]

Se ho capito bene, tu vuoi decomporre $f(x)=x^4+2x^3-x-2$ in $ZZ_3[x]$.

Osserva che 1 è radice di $f(x)$, essendo $f(1)=0$. Usando Ruffini e considerando le riduzioni modulo 3, ottieni $f(x)=(x-1)(x^3-1)$. Essendo $a\mapstoa^3$ un automorfismo da $ZZ_3[x]$ in se stesso, ottieni $f(x)=(x-1)(x-1)^3=(x-1)^4$. Spero di essere stato chiaro

[Marty84]

Si che sei stato chiaro...ma allora $frac{ZZ}{pZZ(x)}$ sarebbe $ZZ_3(x)$?

[matths87]

Non mi è chiara una cosa che hai scritto...

Tu con $ZZ_3(x)$ intendi l'anello dei polinomi costruito su $ZZ_3$?
Nella notazione che ho imparato a lezione, $ZZ_3[x]$ è il campo dei polinomi a coefficienti in $ZZ_3$, mentre $ZZ_3(x)$ è il campo dei quozienti di $ZZ_3[x]$.

[Marty84]

con $ZZ_3(x)$ intendo proprio quello, l'anello dei polinomi che hanno coefficienti in $ZZ_3$ ma non sono sicura che $frac{ZZ}{3*ZZ(x)}$ sia la stessa cosa...

[matths87]

Mi ricordo che vale che $(ZZ[x])/((3ZZ)[x])~=(ZZ)/(3ZZ)[x]$ (questo fatto si può anche generalizzare), ma sinceramente non so come dimostrare il tuo isomorfismo...

EDIT: mi è venuta in mente una cosa. Quando in generale si costruisce un anello quoziente $A/I$, si vuole che $A$ sia un anello e $I$ un ideale bilatero di $A$. Ritengo quindi che la scrittura $ZZ/(pZZ[x])$ non abbia significato, non essendo $pZZ[x]$ ideale di $ZZ$. Sei sicura del testo dell'esercizio?