anello

[fabiola]

qualcuno di voi sa dirmi cosa rappresenta questo anello?
$F_p[X]$$/({X^r-1}/{X-1})$
ho davanti un articolo e inizia più o meno così senza molti preamboli.
grazie a tutti

[Ingegnerepersbaglio]

Dovrebbe venire una roba del genere:

[Martino]

Ciao!

L'anello è

$(F_p[X])/((X^{r-1}+...+X+1))$ dove $p$ è (immagino) un numero primo.

Se $r$ è primo, esso è un campo.

Era questo che volevi sapere?

[fabiola]

grazie, ma non era proprio quello che volevo sapere....premetto che sono molto a corto di algebra perchè dopo la laurea mi sono indirizzata su altri settori e non ricordo quasi niente. Mi serve sapere proprio cosa rappresenta,es:le classi di resto modulo p.....
grazie ancora e più informazioni mi date meglio è

[Martino]

Non ricordi "quasi niente" in che senso?

Per esempio: ricordi cosa significa fare il quoziente con un ideale?

$F_p$, ove p è un numero naturale, è l'insieme dei resti della divisione per p. Esso ha struttura di anello con la moltiplicazione usuale valutata modulo p (ovvero dopo aver moltiplicato si calcola il resto della divisione per p).
Per esempio $F_4 = \{0,1,2,3\}$ (insiemisticamente). Come vedi in questo anello $2 * 2 = 0$.

Un elemento $a$ di $F_p$ è invertibile se e solo se esiste $b \in F_p$ tale che $ab=1$ modulo p, ovvero esiste $c \in ZZ$ tale che $ab+cp=1$ in $ZZ$, e questo accade se e solo se a e p sono coprimi in $ZZ$ (Bezout). Per esempio in $F_4$ 3 è invertibile in quanto $3*3=9=1$.

Se p è primo allora tutti gli elementi di $F_p$ non nulli sono invertibili (perché essi sono tutti gli interi tra 1 e p-1, quindi minori di p, quindi coprimi con p), quindi $F_p$ è un campo.

Se $R$ è un anello allora $R[X]$ è l'anello dei polinomi a coefficienti in $R$. Se prendi $f(x) \in R[X]$ e fai il quoziente $(R[X])/((f(x)))$ ottieni un anello.

Per esempio se prendi $R=F_3$ e $f(x)=x^2+1$ allora hai che $(F_3[X])/((X^2+1))$ è isomorfo a $F_3[theta]$ ove $theta^2=-1$ (teorema di isomorfismo).

Ecc ...

[fabiola]

caro Martino,
non ricordo quasi niente nel senso che ho fatto l'esame di algebra nel 97 e poi non ho più visto queste cose. Comunque sei stato chiarissimo;l'unica parte che mi resta ancora un pò difficile è l'ultima quella in cui fai l'esempio con il quoziente rispetto a $X^2+1$.Comunque continuo a leggere e quando avrò altri dubbi (sicuramente a breve) saprò a chi rivolgermi, visto che sei ferratissimo in materia
Grazie mille

[Martino]

l'unica parte che mi resta ancora un pò difficile è l'ultima quella in cui fai l'esempio con il quoziente rispetto a $X^2+1$.

Considera il polinomio $f(x)=x^2+1$ in $F_3[X]$. Esso è irriducibile in quanto se fosse riducibile si scomporrebbe in due fattori di grado 1 in $F_3[X]$, cioè ammetterebbe almeno una radice in $F_3$. Ma f(0)=1, f(1)=2, f(2)=2, e quindi $f(a) \ne 0$ per ogni $a \in F_3$.
Ora puoi usare un argomento standard, che è detto "teorema di esistenza di zeri" o qualcosa del genere, per trovare un sovracampo di $F_3$ in cui $f(x)$ ammette uno zero. Fai così: fai il quoziente $(F_3[X])/((X^2+1))$. $X^2+1$ è irriducibile e quindi l'ideale $(X^2+1)$ è massimale nell'anello $F_3[X]$ (questo è un fatto di facile dimostrazione). Ora quando tu hai un anello $A$ e un suo ideale massimale $I$, il quoziente $A/I$ è un campo perché un anello è un campo se e solo se i suoi unici ideali sono (0) e l'anello stesso. Ne segue che $(F_3[X])/((X^2+1))$ è un campo e tu disponi di un omomorfismo iniettivo $F_3 \to (F_3[X])/((X^2+1))$, quello che manda $a \in F_3$ in $a+(X^2+1)$ (tra l'altro il fatto che sia un omomorfismo non nullo implica che è iniettivo perché ogni omomorfismo $A to B$ non nullo in cui $A$ è un campo è iniettivo - il suo nucleo dovendo essere un ideale proprio). Quindi puoi pensare $F_3$ come contenuto in $(F_3[X])/((X^2+1))$ (se hai un omomorfismo iniettivo $A to B$ puoi pensare $A$ come "contenuto" in $B$), ed ecco che in questo campo l'elemento $X+(X^2+1)$ è zero di $X^2+1$ (se ci credi: quando l'ho visto per la prima volta mi pareva un'insensatezza ). Definisci dunque $theta = X+(X^2+1)$. Ora hai un omomorfismo suriettivo $F_3[X] \to F_3[theta]$ (dove $F_3[theta]$ è il sottoanello di $(F_3[X])/((X^2+1))$ generato da $F_3$ e da $theta$) ottenuto mandando $X$ in $theta$ e tutto il resto di conseguenza. Il suo nucleo consiste dei polinomi $g(x)$ tali che $g(theta)=0$, e se fai la divisione con resto di $g(x)$ per $x^2+1$ ottieni $g(x)=(x^2+1)h(x)+r(x)$ col grado di r minore di 2; ma allora $r(theta)=g(theta)=0$ e quindi forzatamente $r=0$ essendo r al più di grado 1 (se avesse grado 1, $theta$ apparterrebbe a $F_3$, essendo $r(theta)=0$). Quindi il nucleo dell'omomorfismo $F_3[X] \to F_3[theta]$ è proprio l'ideale $(X^2+1)$, e applicando il primo teorema di isomorfismo per gli anelli ottieni che $(F_3[X])/((X^2+1)) \cong F_3[theta]$ (questa è una uguaglianza se identifichi $F_3$ con la sua immagine in $(F_3[X])/((X^2+1))$). Tra l'altro questo significa che l'anello $F_3[theta]$ è un campo (essendo isomorfo a un campo). In tale campo l'inverso di $theta$ è $-theta$.
Tutto ciò vale anche se prendi un qualunque campo k al posto di $F_3$.

Mi DEVO fermare (per il mio bene ).

Scusa per il caos, ma dato che hai detto "più informazioni mi date meglio è" ...

[fabiola]

Ora è veramente tutto chiaro; preparati, perchè a breve ci saranno di sicuro altre domande a tema.
Grazie ancora

[fabiola]

Continuo col mio articolo e purtroppo continuo a non capire; scrivo qui un sunto(lìanello di cui parlo lo trovate nel post anello):
L'anello ammette Fp-algebra automorphisms determinati da $X->X^k$ per k primo con r.Questi automorfismi formano un gruppo $Delta$. Prendiamo l'automorfismo $sigma:X->X^n$
e consideriamo $ S = {x in A : sigma(x) = x^n}$ sottoinsieme di A.

Il polinomio $ (X^r − 1)/(X − 1) in F_p[X]$ si fattorizza nel prodotto di polinomi irriducibili
distinti, tutti di grado uguale all'ordine di $ p (mod r)$.
Con $theta$ denotiamo uno zero di uno di questi fattori irriducibili; essa è una radice primitiva r-sima dell'unità.
Definiamo un omomorfismo suriettivo $pi:A-> F_p(theta)$ ponendo $pi(X) = theta$.
L'immagine $pi((S)$ di S è unione di ${0}$ e un sottogruppo di $F_p(theta)*$ di ordine s.
Componendo $pi$ con un automorfismo in $Delta$ otteniamo per ogni $k in Z$$/rZ*$ l'omomorfismo
$pi_k: A -> F_p(theta)$ dato da $X->theta^k$. Poichè $Delta$ è commutativo, esso agisce su $S$.
Segue che ognuno degli omomrfismi $pi_k$ mappa $S$ in un insieme di ordine $s+1$.
Il morfismo combinato $(pi_k)_(k in C): A-> prod_(k in C)F_p(theta)$ è un isomorfismo.


Qualcuno può spiegarmi tutto questo? Aiutoooo
come al solito:più informazioni mi date meglio è.
Grazie