unità dei quaternioni e $S_4$

[Nebula]

problema: dimostrare che il gruppo degli automorfismi $A$ dell'insieme delle unità del corpo dei quaternioni $U:={pm1,pmi,pmj,pmk}$ è isomorfo al gruppo simmetrico $S_4$.

l'unica cosa che sono riuscito a dimostrare è questa:
un automorfismo $phi$ di $U$ è determinato una volta scelto un valore per $phi(i)$ in ${pmi,pmj,pmk}$ e un valore per $phi(j)$ in ${pmi,pmj,pmk}\backslash{phi(i),phi(j)}$, quindi $|A|=24=4!$.
quindi per il teorema di sylow esiste un $C_3$ in $A$.
tutte cose non molto utili.

come si può risolvere questo problema?

[Nebula]

si può dire che un sottogruppo di ordine $n!$ di un $S_m$ è un $S_n$?
in tal caso potrei usare il teorema di cayley per risolvere il problema?