dimostrazione

[lucas]

come posso dimostrare per induzione che:

$(a-1)^(1/n)<=(a-1)/n$ ??

grazie...

[miuemia]

ma devi avere delle ipotesi su $a$ perchè ci sono casi in cui non funziona.... quali sono le ipotesi su $a$??

[lucas]

hai perfettamente ragione... infatti mi sono dimenticato di scriverle...

$a>=1$

[miuemia]

scusa ma mi sembra scorretta in quanto se $a=2$ allora $(a-1)^{1/n}=1$ e $1>=1/n$ $AAn \in NN$....

[lucas]

effettivamente tutti i torti non li hai... ti devo kiedere ancora scusa ma... è da stamattina che studio analisi e a una certa ora sfaso... una giornata tra limiti, teoremi e dimostrazioni non è molto salutare x la mente... la disequazione è: $a<=1$

[Martino]

la disequazione è: $a<=1$

Cosicché per a=0 e n=2 abbiamo $(-1)^{1/2} le -1/2$ ?

Mmhh... qualcosa non torna

[Martino]

Tra l'altro non è nemmeno

$(a-1)^(1/n)>=(a-1)/n$

perché se a=6 e n=2 viene

$sqrt{5} >= 5/2$

che è falso.

[luluemicia]

Ciao, in effetti se a<1 il primo membro perde significato ogni volta che n è pari.

[G.D.]

Posso chiedere a lucas da dove viene fuori questa dimostrazione da fare?

[miuemia]

io l'avrei impostato in questo modo...ma ovviamente non so se sia corretto:
pongo $y=a-1>=0$ poichè $a>=1$ a questo punto diventa $y^{1/n}<=y/n$,
dette $f(n)=y^{1/n}$ e $g(n)=y/n$ con $f(1)=g(1)=y$.
allora per provare la diguaglianza studio la derivata prima delle due funzioni e si ha che $f^'(n)=-(1/n^{2})y^{1/n}lgy$ e $g^'(n)=-y/n^{2}$ allora imponendo: $f^'(n)<=g^'(n)\quad <=>y^{1/n}lg(y)>=y AAn>=1$ e a questo punto visto che lo voglio per ogni $n$ passando al limite si ha che $lg(y)>=y \quad <=>y^{1/y}>=1$ e quindi $a$ deve soddisfare la condizione $(a-1)^{1/(a-1)}>=1$...
spero di non aver scritto corbellerie