Terne Pitagoriche

[Nidhogg]

E' possibile trovare terne pitagoriche nella serie di Fibonacci?

[cart]

Facendo un giro tra i vecchi post, ho trovato questo che è carino.

Supponiamo che esistano F(n), F(m) ed F(k), numeri di fibonacci:

(1) F^2(n)+F^2(m)=F^2(k)

Supponiamo per ora k>=2

Ovviamente dovrà essere F(n)<F(k) ed F(m)<F(k).Non è lesivo di generalità suppore inoltre F(n)>F(m).(L'uguaglianza non può sussistere,pena la razionalità di rad2)

Supponiamo per assurdo di avere:

F(n)<F(k-1) ed F(m)<F(k-2)

Sommando membro a membro, otterremmo, ricordando come è definita la successione di Fibonacci:

F(n)+F(m)<F(k) ed elevando al quadrato:

F^2(n)+F^2(m)+2F(n)F(m)=F^2(k)

e per la (1) avremmo F(n)=F(m)=0, che è assurdo.

Abbiamo allora tre casi:

(a)F(n)>=F(k-1) ed F(m)>=F(k-2), il chè implica, per le nostre scelte:

F(n)=F(k-1), ed F(m)=F(k-2) che portano ad una contraddizione.

(b) F(n)>=F(k-1) che implica F(n)=F(k-1) ed F(m)<F(k-2) per la quale avremmo:

F^2(k-1)+F^2(m)=F^2(k-1)+F^2(k-2)+2F(k-1)F(k-2), da cui:

F^2(k-2)>F^2(k-2)+2F(k-1)F(k-2), che è assurdo.

(c) F(n)<F(k-1) ed F(m)>=F(k-2), che implicherebbero:

F(n)=F(m)=F(k-2), relazione ancora una volta assurda.

Per 0<=k<2, è facile vedere che non esistono soluzioni.

[Nidhogg]

Esatto. Finalmente qualcuno l'ha notato questo post.

Grazie Cart.
Ciao, Ermanno

[nic]

E' difficile appassionarsi a qualcosa che non esiste, nel senso che se ci dicessi come ti è venuto il dubbio forse la cosa sarebbe più interessante.

[Luca77]

Credo sia impossibile appassionarsi a qualcosa che non esiste; l'intera Matematica esiste, dal Teorema piu' puro a quello piu' applicato, quindi non capisco il significato della frase e a che cosa essa e' riferita.

Luca.

[nic]

Innanzi tutto non ho detto impossibile infatti nulla è impossibile, intendevo dire che è difficile appassionarsi ad un problema inesistente.

[GIOVANNI IL CHIMICO]

Credo che la definizione di problema inesistente non sia ben posta, oppure non si adatta per niente a questa situazione...

[Luca77]

Nulla e' impossibile forse e' troppo. Rettificare con riga e compasso una circonferenza e' impossibile. Per quanto tante persone "ignoranti" ci provino ancora, e' certo che nessuno riuscira' mai.
Cio' non toglie che uno possa legittimamente appassionarsi al problema di rettificare la circonferenza, magari senza usare solo riga e compasso... ma introducendo altri strumenti, oppure cambiando lo spazio in cui si opera.

L'impossibilita' non va vista come qualcosa di negativo, e' semplicemente una risposta ad un problema.

Ciao, Luca.