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Siano dati i gruppi \(\displaystyle G = Z_4 * Z_3 \) e \(\displaystyle H = Z_2 * Z_6 \). Esiste un isomorfismo dei gruppi additivi \(\displaystyle G \) e \(\displaystyle H \)?

Non mi è chiara questa cosa: per il teorema cinese dei resti io so che \(\displaystyle G = Z_4 * Z_3 \) è isomorfo a \(\displaystyle Z_{12} \), in quanto 4 e 3 sono coprimi. Allo stesso modo però so che \(\displaystyle H = Z_2 * Z_6 \) non è isomorfo a \(\displaystyle Z_{12} \) perché 2 e 6 non sono coprimi. Questo mi basta per poter dire che non esiste un isomorfismo tra G e H (cioè il fatto che G sia isomorfo a un gruppo a cui H non lo è)?

PS non ho la soluzione dell'esercizio quindi non so se effettivamente sono isomorfi o meno.

\(*\) è il prodotto? Se sì, perché non lo indichi con \(\times\)? \(*\) potrebbe far pensare al prodotto libero...

Non sono isomorfi. Scegli il motivo che preferisci

- in $G$ c'è un elemento di ordine 4, in $H$ no.

- \(G\cong \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/3\) (sempre per CRT), e se $G$ fosse isomorfo ad $H$ significherebbe che \(\mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/2\cong \mathbb{Z}/4\), cosa che non è vera (il prodotto cartesiano con un gruppo finito è una operazione cancellativa)

- il teorema di classificazione dei gruppi abeliani finitamente generati

- eccetera

- che da lontano sembrano mosche

martina1782 ha scritto: Questo mi basta per poter dire che non esiste un isomorfismo tra G e H (cioè il fatto che G sia isomorfo a un gruppo a cui H non lo è)?

Sì, basta