Radicale di un principale
Inviato: 05/01/2024, 10:37Buongiorno e buon anno a tutti i lettori e scrittori del forum. Vi sottopongo un controesempio alla seguente proposizione:
Sia $I$ un ideale principale, allora $\sqrt{I}$ è principale
Per il nostro controesempio prendiamo $A=\mathbb{K}[x,y,z,t,w]$ $/(x^2-zt,y^2-zw)$ e definiamo $I=(z)$ che è principale per definizione.
Non è difficile vedere che $\sqrt{(z)}=(x,y,z)$, ma questo non è sufficiente a dire che $\sqrt{(z)}$ non sia principale, anche se non sembra così assurdo. Il punto è che se supponiamo che esista $f\in A$ tale che $(f)=(x,y,z)$ troviamo un assurdo e lo troviamo grazie al fatto che ho scelto polinomi omogenei per quozientare. Infatti questa scelta lascia una struttura graduata su $A$ (partiamo dalla graduazione standard su $\mathbb{K}[x_1,\ldots,x_n]$) e sappiamo che $\text{deg}(x)=\text{deg}(y)=\text{deg}(z)=1$ e se ci fosse tale $f$ avremmo che anche $\text{deg}(f)\leq 1$ e questo è impossibile, perché non ci sono polinomi omogenei di grado 1 che generano sia $x$ che $y$ che $z$
Sia $I$ un ideale principale, allora $\sqrt{I}$ è principale
Per il nostro controesempio prendiamo $A=\mathbb{K}[x,y,z,t,w]$ $/(x^2-zt,y^2-zw)$ e definiamo $I=(z)$ che è principale per definizione.
Non è difficile vedere che $\sqrt{(z)}=(x,y,z)$, ma questo non è sufficiente a dire che $\sqrt{(z)}$ non sia principale, anche se non sembra così assurdo. Il punto è che se supponiamo che esista $f\in A$ tale che $(f)=(x,y,z)$ troviamo un assurdo e lo troviamo grazie al fatto che ho scelto polinomi omogenei per quozientare. Infatti questa scelta lascia una struttura graduata su $A$ (partiamo dalla graduazione standard su $\mathbb{K}[x_1,\ldots,x_n]$) e sappiamo che $\text{deg}(x)=\text{deg}(y)=\text{deg}(z)=1$ e se ci fosse tale $f$ avremmo che anche $\text{deg}(f)\leq 1$ e questo è impossibile, perché non ci sono polinomi omogenei di grado 1 che generano sia $x$ che $y$ che $z$