Un problema di Teoria dei numeri

[karl]

La teoria dei numeri,di cui mi sto interessando
in questo periodo (....ma appena un po'),e'
piuttosto difficile.
So di scoprire l'acqua calda , ma vorrei farvi
partecipi delle mie difficolta' con un problema:
<b>Dimostrare che, per ogni x in Z,il numero
x<img src=icon_smile_dead.gif border=0 align=middle>+1 non e' divisibile per 7.
Generalizzare la questione provando che detto numero
non e' divisibile per i numeri primi della forma 4n+3
con n in N.</b>
karl.

[Thomas]

Probabilmente al caso con n=1 ci sei già arrivato, ma...
considerando che
(x+7)^2 = x^2 mod 7
si ha che il periodo dei quadrati mod 7 è appunto 7. Dato che nessuno dei primi 7 quadrati è uguale a -1 (mod 7) questo vuol dire che x^2+1 nn è mai divisibile per 7.

Il procedimento però nn è facilmente generalizzabile. L'unica cosa che si può estrapolare è che i quadrati hanno periodo (4n+3) mod 4n+3..Per ora mi blocco anch'io.
Ciao

[karl]

Per Thomas.
Ti ringrazio per la risposta nel caso di n=1.
Per un "n" generico avrei trovato questa
soluzione ( su cui mi piacerebbe avere
una tua valutazione) .
Supponiamo che sia :
(A) x<img src=icon_smile_dead.gif border=0 align=middle>== -1 (mod 4n+3) [il doppio uguale sostituisce
il simbolo di congruenza]
Dal piccolo teorema di Fermat,applicabile in quanto
si suppone 4n+3 primo,risulta:
x^(4n+2)==1 (mod 4n+3) od anche
(B)(x<img src=icon_smile_dead.gif border=0 align=middle>)^(2n+1)==1 (mod 4n+3)
Ora elevando la (A) a 2n+1 (che e' dispari) si ottiene:
(x<img src=icon_smile_dead.gif border=0 align=middle>)^(2n+1)==-1 (mod 4n+3) in contraddizione con la (B).
Che ne dici?.
Saluti da karl.

[Thomas]

Dico che è correttissimo... Avevo provato ad applicare Fermat, ma ero giunto solo a conclusioni inutili...Peccato! La sol era a portata di mano...

[Thomas]

Ah...Se hai qualche altro problema di questo tipo postalo pure. Così provo a 'rifarmi' in qualche maniera...

[karl]

Ecco un altro esercizio che mi pare simpatico:
<b>Dimostrare che l'equazione:
2x<img src=icon_smile_dead.gif border=0 align=middle>-219y<img src=icon_smile_dead.gif border=0 align=middle>-1=0 non ha soluzioni in Z</b>
karl.

[Thomas]

Grazie karl!

2x^2-1=219y^2

Analizzando i residui mod quattro:
3/1 == 0/3
L'unica sol accettabile quindi è x pari e y dispari.
Poniamo x=2z e y=2k+1
8z^2-1=219(2k+1)^2
Sviluppando e dividendo per 4

2z^2=219k^2+55+219k

Ma il primo membro è sicuramente pari.
Il secondo:
- se k pari: P+P+D=D
- se k dispari: D+D+D=D

Il controllo 'parità' nn funzione: l'equazione è impossibile..
sperando che nn ci siamo errori di calcolo...

Cmq Karl che cosa hai contro la teoria dei numeri (la regina della matematica! o qualcosa di simile)? Secondo merita la stessa attenzione e rispetto di qualsiasi altra branca!
Ciao

[karl]

Non ho nulla contro la Teoria dei numeri,anzi.
Gli e' che personalmente la trovo ostica.
Grazie per la soluzione( la mia e' assai
diversa,almeno credo)
Saluti da karl.

[Thomas]

Postala se è così diversa...

[karl]

Ecco la mia soluzione:
2x<img src=icon_smile_dead.gif border=0 align=middle>-1=3*73y<img src=icon_smile_dead.gif border=0 align=middle>, quindi
2x<img src=icon_smile_dead.gif border=0 align=middle>==1 (mod 3) od anche
3x<img src=icon_smile_dead.gif border=0 align=middle>-x<img src=icon_smile_dead.gif border=0 align=middle>==1 (mod 3) cioe'
x<img src=icon_smile_dead.gif border=0 align=middle>==-1 (mod 3) mentre per Fermat risulta:
x<img src=icon_smile_dead.gif border=0 align=middle>==1 (mod 3)
Quindi l'equazione data non puo' avere
soluzioni in Z senza contraddire il piccolo
teorema di Fermat.
Saluti da karl.