Caratterizzazione del periodo, divisione euclidea in un gruppo(?)
Inviato: 02/02/2024, 09:59Stavo studiando una caratterizzazione del concetto di periodo. Tale afferma, per un gruppo additivo $(G,+)$, che preso un elemento $g$ periodico e $n\in ZZ$, si ha $n*g=0_G hArr o(g) " divide " n$, dove $o(g)=min{n\inZZ, n>0|ng=0_G}$.
Dimostrazione:
Sia $n\in ZZ$ e siano $q " e " r$ quoziente e resto della divisione euclidea di $n$ per $o(g)$. Allora
$ng=(o(g)q+r)g=(o(g)q)g+rg=(qo(g))g+rg=q(o(g)g+rg=rg$
Dove per dimostrarla sono state utilizzate le proprietà dei multipli.
Ora se $rg=0$ allora essendo $r<o(g)$, r non può essere positivo e dunque $r=0$. In tal caso $o(g)|n$. Viceversa se $o(g)|n$ allora $r=0$ e quindi per definizione di multiplo $rg=0$.
La dimostrazione, almeno nel caso additivo, si avvale della divisione euclidea. Però io ho studiato la divisione euclidea in riferimento agli anelli commutativi unitari. Perché è definita anche in un gruppo? (ammesso che lo sia)
Vi ringrazio in anticipo!
Dimostrazione:
Sia $n\in ZZ$ e siano $q " e " r$ quoziente e resto della divisione euclidea di $n$ per $o(g)$. Allora
$ng=(o(g)q+r)g=(o(g)q)g+rg=(qo(g))g+rg=q(o(g)g+rg=rg$
Dove per dimostrarla sono state utilizzate le proprietà dei multipli.
Ora se $rg=0$ allora essendo $r<o(g)$, r non può essere positivo e dunque $r=0$. In tal caso $o(g)|n$. Viceversa se $o(g)|n$ allora $r=0$ e quindi per definizione di multiplo $rg=0$.
La dimostrazione, almeno nel caso additivo, si avvale della divisione euclidea. Però io ho studiato la divisione euclidea in riferimento agli anelli commutativi unitari. Perché è definita anche in un gruppo? (ammesso che lo sia)
Vi ringrazio in anticipo!