impazzire per gli omomorfismi tra gruppi

[Emilio Threepwood]

come si fa a trovare gli omomorfismi di f:(G,*)->(Z6,+) ?
sto impazzendo

ho trovato una spiegazione ma non è molto chiara



"TRACCIA"
Si consideri il gruppo G = U(Z25) degli elementi unitari dell’anello (Z25, +, *). Si calcoli l’ordine di G e si verifichi che G è ciclico, determinandone un generatore. Si trovino gli omomorfismi f: (G, *) -> (Z6, +) precisando se qualcuno di essi è infettivo o surgettivo

"SOLUZ."
Sapendo che 25 = 5^2, per la psy di Eulero avremo che |U(Z25)| = 5^2 – 5 = 20
Nello specifico, U(Z25) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 24}, cioè tutti gli n appartenenti a Z25 tali che MCD(n, 25) = 1.
Trovare un generatore di U(Z25) è semplice: sapendo che 20 = 2^2 * 5, gli elementi di questo insieme avranno necessariamente periodo 1 o 2 o 4 o 5 o 10 o 20. Nello specifico:
2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^4 = 16, 2^5 = 32 congruo 7, 2^10 = 1024 congruo 24, 2^20 = 1048576 congruo 1. Quindi U(Z20) = <2>

"PUNTO CHIAVE CHE NON CAPISCO"
Troviamo gli omomorfismi. f(2) determina univocamente f. infatti, f(n) = f(2^m) = mf(2); inoltre, f(n*m) = f(n)*f(m). Infine, |f(2)| divide MCD(|2|, |Z6|), quindi |f(2)| divide 2.
Se |f(2)| = 1 abbiamo che f(2) = [0]6, e quindi, per ogni n appartenente a G, f(n) = mf(2) = m[0]6 = [0]6. Abbiamo ottenuto l’omomorfismo banale, che non è né ingettivo né surgettivo.
Se |f(2)| = 2 abbiamo che f(2) = [3]6, e quindi, per ogni n appartenente a G, f(n) = mf(2) = m[3]6, ottenendo due casi: se m è dispari, m[3]6 = [3]6, se m è pari, m[0]6 = [0]6. Anche in questo caso, l’omomorfismo non è né surgettivo né ingettivo.


non capisco i passaggi che fa. non centrano nulla con la definizione di omomorfismo. cioè che data f:(A,*1)->(B,*2) dove *1 e *2 sono due operazioni binarie possiamo dire che f(x *1 y) = f(x) *2 f(y)
[V]

[Luca77]

Il fatto che f(2) determina univocamente l'omomorfismo mi sembra sia chiaro. Io poi procederei cosi': il periodo di f(2) deve dividere 6, cardinalita' di Z_6 (per il Th di Lagrange). Quindi sara'
o(f(2)=1, o(f(2))=2, o(f(2))=3, o(f(2))=6. Ora fai passare le possibilta': ad esempio, se o(f(2))=1, allora f(2)=0. Lascio a te le altre possibilita'. Puo' essere che qualcuna alla fine ti dia un assurdo: comunque costruisci esplicitamente gli omomorfismi (al massimo ne devi costruire 4) e vedi quelli che stanno in piedi.

Luca.

[Emilio Threepwood]

cmnq una cosa importante per procedere non mi è chiara
potresti spiegarmi in parole "terra-terra" come funziona il discorso con [0]6, [1]6, [2]6 ecc...cioè qual è il significato? penso che se capisco questo è andata

grazie ancora

[Emilio Threepwood]

alla fine ho capito
QUASI tutto

mi resta un solo dubbio. cioè: da cosa dipendono i casi da considerare? in questo caso quando verso la fine dell'eserizio diciamo "Se |f(2)| = 1 ...Se |f(2)| = 2..." cioè da cosa dipende dire ...=1 ...=2? sono passaggi facili ma non capisco da cosa vengano generati...pensavo dai divisori dell'MCD ma in un esercizio svolto c'era 4 come MCD e mettevano anche il caso con 3