relazioni: che tragiedia...

[semplicemente84]

speriamo che qualcuno sappia darmi qualche dritta..

esistono 4 tipi di relazioni:
con (aRb) indico che a è il relazione con b.

1- riflessive per ogni a appartenente ad A risulta che aRa
2- simmetriche se aRb allora bRa
3- antisimmetriche se aRb e bRa allora a=b
4- transitive se aRb e bRc allora aRc

se sono verificate la 1,2,4 si dicono di Equivalenza;
se sono verificate la 1,3,4 si dicono di Ordine.

DRAMMA:
come si dimostrano?

se avessi una cosa del genere:

definita la seguente relazione in S={1,2,3,4}

R = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (3,1)}

stabilire quali relazioni sono verificate..

io da "ignorante" farei così:

la <b>riflessiva </b>è verificata perchè tutti gli elmenti sono il relazione con se stessi, infati: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4)

la <b>simmetrica</b>:
se xRy allora yRx
non è verificata

l'<b>antisimmetrica</b>:
se xRy e yRx allora x=y
(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)
questi sono i primi quattro elementi dell'insieme R.
1 R 1 e 1 R 1 allora 1 = 1
ora.. io direi che visto ke non c'è il vincolo del "per ogni elemento" questa possa essere verificata... invece <b>NON LO é</b>.. e non si capisce il perchè..

<b>transitiva</b>...
se aRb e bRc allora aRc
R = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (3,1)}

anche qui non c'è il vincolo del "per ogni elmento".. e io farei:

(1 R 2) e (2 R 2) allora (1 R 2) ..
e direi che è transitiva.. ma non lo è! [V]

che dramma! e questo è il più facile!
ci sono altri come questo:

x = 2^(n)*y
con n appartenente a N
dove... non si capisce il perchè ma...
ad es.
riflessiva: x = 2^(n)x
questa è verificata per tutti gli elementi di x se e solo se n = 0
quindi.. non è riflessiva! [V]ma mi chiedo xkè???! non basta dire ke è riflessiva solo se n=0? bho?!

dramma identico per la simmetrica...
x = 2^(n)y
ora io potrei fare due cose...
o scambiare x con y..
y = 2^(n)x così potrei verificare la antisimmetrica?

x = 2^(n)y e y = 2^(n)x --> x = 2^(n)2^(-n)x --> x=x



oppure trovare la y e sostituire...
y = 2^(-n)x
ma -n non appartiene a N.

domanda... questo "metodo" è valido in generale? cioè per la simmetrica mi devo "ricavare" il valore di y mentre per la antisimmetrica basta sostituirli?

bho?!
speriamo che qualcuno ci capisca qualcosa di piu....

grazie cmq..

[Luca77]

Riguardo al tuo primo esempio numerico, la relazione e' riflessiva, non e' simmetrica, e' antisimmetrica e non e' transitiva (3 e' in relazione con 1 ed 1 e' in relazione con 2, ma 3 non e' in relazione con 2).

Luca.

[Luca77]

Per il secondo esempio, mi pare che la relazione abbia tutte le proprieta' se e solo se n=0. In caso contrario, mi sembra non ne abbia nessuna.

Luca.

[semplicemente84]

la prof ha detto ke non è simmetrica anche se dico che è vera per n = 0. bho

per il primo :
3 e' in relazione con 1 ed 1 e' in relazione con 2, ma 3 non e' in relazione con 2
questo è vero... ma riesco a trovare un esempio in cui questa è verificata...
1R1 e 1R2 -- 1R2


quindi la domanda è:
anche la transitiva vuole che per ogni suo elemento sia verificata la R? perchè se non volesse che fosse verificata per ogni elmento.. allora andrebbe bene.. altrimenti.. c'è il tuo controesempio!

[Luca77]

Non so che dirti.... la riposta: "la relazione e' simmetrica se e solo se n=0" e' corretta; per cui se rispondi in questo modo, non puo' dirti che hai commesso un errore.

La proprieta' transitiva, come del resto tutte le altre, ha un quantificatore universale davanti: ovvero recita: "Per ogni x,y: xRy e yRz implica xRz". Quel "Per ogni" (quantificatore universale) ti dice che affinche' la proprieta' sia vera, quindi sia vera l'implicazione, quest'ultima deve essere verificata per tutte le scelte di x e di y; non ne basta una particolare.

Luca.