dimostrazione sottogruppo ciclico

[enrico999]

Aiutooo, qualcuno sa farmi questa dimostrazione:

Mostrare che un sottogruppo di un gruppo ciclico è ciclico.


Grazie a tutti!

CIAO

[karl]

Questa e' la dimostrazione da me studiata in passato.
E' possibile che non sia piu' attuale specialmente per
le notazioni;ad ogni modo eccola :
Sia G un gruppo ciclico ed <b>a</b> ed <b>G'</b> rispettivamente
un suo generatore ed un suo sottogruppo.
Certamente G' contiene elementi del tipo a^x con x>0
(ricordo che a^x sighifica a*a*a*...*a dove "*" e'
l'operazione interna definita in G);sia allora a^h
l'elemento di G' con esponente (positivo) piu' piccolo
possibile.Cio' posto, sia a^k un elemento qualunque di G';
la divisione tra k ed h fornisce un quoziente q ed un
resto r: k=qh+r (con 0<=r<h) da cui r=k-qh.
Da cio' segue che a^r=(a^k)*(a^(-qh)); poiche'
a^h appartiene per ipotesi a G',vi apparterra' anche
(per definizione di sottogruppo) a^(qh)=(a^h)^q e
dunque anche a^(-qh).In conclusione a^r appartiene
a G' perche vi appartengono sia a^k che a^(-qh) e quindi
anche (a^k)*(a^(-qh))=a^r.
Se ora fosse r>0 allora ,essendo r<h,h non sarebbe piu'
l'esponente piu' piccolo come prima detto;pertanto
deve essere r=0.Di consequenza sara' k=qh e percio'
a^k=a^(qh)=(a^h)^q e cio' prova che tutti gli elementi
di G' sono una potenza di a^h.In altre parole G' e'
ciclico ed ha per elemento generatore una potenza di
un generatore del gruppo G di partenza.
karl.