23/10/2008, 07:20
alvinlee88 ha scritto:Se poi volete posto la dimostrazione del prof di questo passaggio chiave, non che sia particolarmente difficile, ma per i motivi detti sopra vorrei vedere cosa propone il forum. Se viene fuori che è l'unico o quasi modo di idmostrare certe cose, devo rassegnarmi a imparare a pensare così.
grazie per l'attenzione.
23/10/2008, 17:58
24/10/2008, 17:04
24/10/2008, 17:53
24/10/2008, 19:57
Thomas ha scritto:bravo fields che mette apposto i pezzi giusti come al solito!...
24/10/2008, 21:25
alvinlee88 ha scritto:Sia $G$ un gruppo finito, $f$ un omomorfismo di $G$ in sè per cui valga $f(g)=g^(-1)$ per almeno $3/4$ degli elementi di $G$. Dimostrare che allora $f(g)=g^(-1)$ per tutti gli elementi di $G$, e che $G$ è abeliano.
fields ha scritto:2. Se $a\in H$, allora $|aHnn H|>1/2|G|$. Infatti, $|aH|>3/4|G|$, $|H|>3/4|G|$: di qui la tesi.
3. Per ogni $a\in H$, $Z(a)=G$. Infatti, per 2., $|{b | a,b,ab\in H}|>1/2|G|$. Dunque, per 1., $|Z(a)|>1/2|G|$; essendo $Z(a)$ un sottogruppo di $G$, $Z(a)=G$.
24/10/2008, 22:18
alvinlee88 ha scritto:L'idea è dimostrare che $H={ginG|f(g)=g^(-1)}$ è un sottogruppo di $G$. Se infatti così fosse, tale sottogruppo avrebbe ordine $>= [3/4|G|]+1$, dove con $[x]$ indico il minimo intero che non supera $x$
24/10/2008, 22:40
25/10/2008, 09:32
ficus2002 ha scritto:Penso che a priori non si possa affermare $|H|>= [3/4|G|]+1$; per esempio, se $|G|=4k$, l'ipotesi "$H$ ha almeno $3/4$ degli elementi di $|G|$" non esclude il caso $|H|=3/4 |G|$.
25/10/2008, 11:41
fields ha scritto:@alvinlee
Se ho ben capito, vuoi dimostrare che $Z(h)=G$ per ogni $h\in{g | f(g)=g^{-1}}:=H$. Questo in effetti implica che $G$ e' abeliano e facilmente tutta la tesi.
fields ha scritto:3. Per ogni $a\in H$, $Z(a)=G$. Infatti, per 2., $|{b | a,b,ab\in H}|>1/2|G|$. Dunque, per 1., $|Z(a)|>1/2|G|$; essendo $Z(a)$ un sottogruppo di $G$, $Z(a)=G$.
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