principio di induzione... Aiuto!!!

Messaggioda Betta » 03/01/2005, 14:24

ciao, ho un grossissimo problema con il principio di induzione...
Non ho ancora ben capito come si applica...
per cortesia qualcuno potrebbe aiutarmi...
ho un esame molto molto vicino...
AIUTOOOO!!!!!
Betta
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Messaggioda jack » 03/01/2005, 15:10

da quello che so il principio di induzione si applica più o meno così:
devi dimostrare che una certa proprietà matematica vale per tutti i numeri; allora tu supponi che questa proprietà valga innanzitutto per i primi n numeri, poi verifichi che la proprietà vale anche per l' (n+1)-esimo numero, e poichè tu non hai specificato quale sia n, allora la proprietà vale per tutti i numeri...
un particolare fondamentale di questo principio, è che la proprietà in questione valga anche per 0...quindi in definitiva il principio di induzione lo si applica in questo modo:si dimostra che la proprietà vale per 0, si ipotizza che valga per i sucdessivi n numeri, e se vale anche per l' n+1-esimo numero allora vale per tutti i numeri
ti faccio un esempio che chiarisce il concetto...
dobbiamo dimostrare che la somma dei primi n numeri interi è n*(n+1)/2; sicuramente questa formula vale quando n=0,supponiamo ora che questa proprietà valga per n numeri...vediamo se vale anche per l' (n+1)-esimo numero: la somma dei primi n+1 numeri vale
n*(n+1)/2 + n+1 cioè
[n*(n+1) + 2*(n+1)]/2 cioè
(n+1)*(n+2)/2 ovvero
(n+1)*(n+1 +1)/2 e questa è la nostra formula di partenza,solo che al posto di n abbiamo n+1...adesso, poichè non abbiamo specificato n, allora la proprietà vale per tutti i numeri (naturali)...
jack
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Messaggioda Mistral » 03/01/2005, 15:12

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Originally posted by Betta</i>

ciao, ho un grossissimo problema con il principio di induzione...
Non ho ancora ben capito come si applica...
per cortesia qualcuno potrebbe aiutarmi...
ho un esame molto molto vicino...
AIUTOOOO!!!!!
<hr height="1" noshade id="quote"></font id="quote"></blockquote id="quote">

Se P(n) esprime il fatto che il numero naturale n gode della proprietà P, e riesci a dimostrare che:
P(k) è vera per qualche k>=0
Per ogni n>=k, se P(n) è vera allora P(n+1) è vera

Allora tutti i numeri naturali n>=k godono della proprietà P.

Ad esempio:

se P(n) esprime la proprietà che Somma{i=1,n}i=n(n+1)/2
P(1) è vera da 1(2)/2=1
Se supponi vera P(n), allora considerando P(n+1) hai che Somma{i=0,n+1}i=(n+1)+Somma{i=1,n}i=n+1+n(n+1)/2=(n+2)(n+1)/2 quindi è vera P(n+1).

Segue che per ogni intero n>=1 si ha che Somma{i=1,n}i=n(n+1)/2.


Ciao
Mistral

PS se vuoi vedere se hai capito prova a dimostrare che:
Somma{i=1,n}i(i+1)/2=n(n+1)(n+2)/6 per n>=1.
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Messaggioda Betta » 03/01/2005, 20:40

vi ringrazio tantissimo!!!
Betta
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