Scusate la mia profonda ignoranza,ma qualcuno di buon animo saprebbe spiegarmi questi 2 (elementari...)teoremi[?]
i)Se 2 polinomi di grado =<n assumono lo stesso valore in n+1 punti distinti,allora sono uguali.
ii)RATIONAL ROOT THEOREM:se un polinomio a(n)x^n+a(n-1)x^(n-1)+...+a(1)x+a(0) ha una radice razionale p/q allora q|a(n) e p|a(0).
Che significa |[?]
Grazie in anticipo[;)]
11 messaggi
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da karl » 11/01/2005, 19:02
Siano P(x) e Q(x) i due polinomi (che per semplificare
il problema supponiamo entrambi di grado n) e siano
Ai,Bi [i=0,1,2...,n] i rispettivi coefficienti.
La loro differenza P(x)-Q(x) e' un altro polinomio
( in generale anch'esso di grado n)
che si annulla per n+1 valori.Sostituendo tali valori in
P(x)-Q(x),si ottiene un sistema omogeneo
(cioe' con i termini noti tutti nulli) le cui incognite
sono le n+1 differenze Ai-Bi e la cui la matrice incompleta
ha un determinante non nullo perche' uguale al cosiddetto
determinante di Vandermonde o delle differenze.
Pertanto tale sistema ha l'unica soluzione
Ai-Bi=0 da cui Ai=Bi [sempre con i=0,1,2,..,n] e da qui
segue che P(x) e Q(x) coincidono.
Per quanto riguarda il secondo problema basta osservare
che sostituendo p/q ad x nel polinomio uguagliato a zero
e riducendo a forma intera l'equazione ottenuta,il primo
coefficiente diventa a(0)p^n ( e quindi e' divisibile per p)
mentre l'ultimo diventa a(n)q^n ( e quindi e' divisibile
per q).Naturalmente occorre suppore che i coefficienti del
polinomio siano interi.
karl.
il problema supponiamo entrambi di grado n) e siano
Ai,Bi [i=0,1,2...,n] i rispettivi coefficienti.
La loro differenza P(x)-Q(x) e' un altro polinomio
( in generale anch'esso di grado n)
che si annulla per n+1 valori.Sostituendo tali valori in
P(x)-Q(x),si ottiene un sistema omogeneo
(cioe' con i termini noti tutti nulli) le cui incognite
sono le n+1 differenze Ai-Bi e la cui la matrice incompleta
ha un determinante non nullo perche' uguale al cosiddetto
determinante di Vandermonde o delle differenze.
Pertanto tale sistema ha l'unica soluzione
Ai-Bi=0 da cui Ai=Bi [sempre con i=0,1,2,..,n] e da qui
segue che P(x) e Q(x) coincidono.
Per quanto riguarda il secondo problema basta osservare
che sostituendo p/q ad x nel polinomio uguagliato a zero
e riducendo a forma intera l'equazione ottenuta,il primo
coefficiente diventa a(0)p^n ( e quindi e' divisibile per p)
mentre l'ultimo diventa a(n)q^n ( e quindi e' divisibile
per q).Naturalmente occorre suppore che i coefficienti del
polinomio siano interi.
karl.
- karl
da Nessuno@ » 11/01/2005, 19:23
<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Originally posted by karl</i>
La loro differenza P(x)-Q(x) e' un altro polinomio
( in generale anch'esso di grado n)
che si annulla per n+1 valori.
<hr height="1" noshade id="quote"></font id="quote"></blockquote id="quote">
Sarà il Natale che mi ha un po' rimbambito,ma come puo' un polinomio di grado n avere n+1 radici?Dove sbaglio[V]?
Il 2 l'avevo interpretato male!
Grazie
La loro differenza P(x)-Q(x) e' un altro polinomio
( in generale anch'esso di grado n)
che si annulla per n+1 valori.
<hr height="1" noshade id="quote"></font id="quote"></blockquote id="quote">
Sarà il Natale che mi ha un po' rimbambito,ma come puo' un polinomio di grado n avere n+1 radici?Dove sbaglio[V]?
Il 2 l'avevo interpretato male!
Grazie
- Nessuno@
da Mistral » 11/01/2005, 19:32
<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Originally posted by Nessuno@</i>
Scusate la mia profonda ignoranza,ma qualcuno di buon animo saprebbe spiegarmi questi 2 (elementari...)teoremi[?]
i)Se 2 polinomi di grado =<n assumono lo stesso valore in n+1 punti distinti,allora sono uguali.
<hr height="1" noshade id="quote"></font id="quote"></blockquote id="quote">
Supponiamo che ti riferisci ai polinomi a coefficiente complessi, anche se il risultato è molto più generale. Allora devi ricordare che un polinomio di grado n ha esattamente n radici nel campo complesso. Quindi se due polinomi di grado n coincidono in n+1 punti avresti che il polinomio differenza tra i due, che è al più di grado n, avrebbe n+1 radici quindi l'unica possibilità e che il polinomio differenza sia identicamente nullo cioè i due polinomi coincidono.
<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote">[i]
ii)RATIONAL ROOT THEOREM:se un polinomio a(n)x^n+a(n-1)x^(n-1)+...+a(1)x+a(0) ha una radice razionale p/q allora q|a(n) e p|a(0).
Che significa |[?]
Grazie in anticipo[;)]
<hr height="1" noshade id="quote"></font id="quote"></blockquote id="quote">
In questo caso suppongo ti riferisci ad un polinomio a coefficienti interi. Allora se x=p/q puoi sempre ridurre la frazione in modo che p e q non abbiano fattori comuni, quindi sostituisci nel polinomio hai che:
a(n)(p/q)^n+a(n-1)(p/q)^(n-1)+...+a(1)(p/q)+a(0)=0
se moltiplichi ambo i membri per per q^n ottieni:
a(n)p^n+a(n-1)p^(n-1)q+...+a(1)pq^(n-1)+a(0)q^n=0
questa la puoi scrivere come:
a(n)p^n+Rpq+a(0)q^n=0
quindi:
p divide a(0)q^n e siccome p non ha fattori comuni con q, allora p divide a(0), cioè p|a(0).
q divide a(n)p^n e siccome q non ha fattori comuni con p, allora q divide a(n), cioè q|a(n).
Ciao
Mistral
PS non avevo visto la risposta senno mi risparmiavo la fatica
Scusate la mia profonda ignoranza,ma qualcuno di buon animo saprebbe spiegarmi questi 2 (elementari...)teoremi[?]
i)Se 2 polinomi di grado =<n assumono lo stesso valore in n+1 punti distinti,allora sono uguali.
<hr height="1" noshade id="quote"></font id="quote"></blockquote id="quote">
Supponiamo che ti riferisci ai polinomi a coefficiente complessi, anche se il risultato è molto più generale. Allora devi ricordare che un polinomio di grado n ha esattamente n radici nel campo complesso. Quindi se due polinomi di grado n coincidono in n+1 punti avresti che il polinomio differenza tra i due, che è al più di grado n, avrebbe n+1 radici quindi l'unica possibilità e che il polinomio differenza sia identicamente nullo cioè i due polinomi coincidono.
<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote">[i]
ii)RATIONAL ROOT THEOREM:se un polinomio a(n)x^n+a(n-1)x^(n-1)+...+a(1)x+a(0) ha una radice razionale p/q allora q|a(n) e p|a(0).
Che significa |[?]
Grazie in anticipo[;)]
<hr height="1" noshade id="quote"></font id="quote"></blockquote id="quote">
In questo caso suppongo ti riferisci ad un polinomio a coefficienti interi. Allora se x=p/q puoi sempre ridurre la frazione in modo che p e q non abbiano fattori comuni, quindi sostituisci nel polinomio hai che:
a(n)(p/q)^n+a(n-1)(p/q)^(n-1)+...+a(1)(p/q)+a(0)=0
se moltiplichi ambo i membri per per q^n ottieni:
a(n)p^n+a(n-1)p^(n-1)q+...+a(1)pq^(n-1)+a(0)q^n=0
questa la puoi scrivere come:
a(n)p^n+Rpq+a(0)q^n=0
quindi:
p divide a(0)q^n e siccome p non ha fattori comuni con q, allora p divide a(0), cioè p|a(0).
q divide a(n)p^n e siccome q non ha fattori comuni con p, allora q divide a(n), cioè q|a(n).
Ciao
Mistral
PS non avevo visto la risposta senno mi risparmiavo la fatica
-
Mistral - Junior Member
- Messaggio: 165 di 287
- Iscritto il: 11/02/2004, 19:32
- Località: Vercelli
da karl » 11/01/2005, 19:43
Il buon nessuno@ posta i quesiti ma non
ne capisce le risposte!
Il fatto che il polinomio differenza si annulla
per n+1 valori scaturisce dalle ipotesi fatte e porta
alla conclusione che P(x) e Q(x) coincidono.Appunto.
Quanto al 2° quesito e' uno dei piu' triti e ritriti
dell'algebra e ho avuto qualche attimo di nausea
nel postarne la soluzione.
karl.
ne capisce le risposte!
Il fatto che il polinomio differenza si annulla
per n+1 valori scaturisce dalle ipotesi fatte e porta
alla conclusione che P(x) e Q(x) coincidono.Appunto.
Quanto al 2° quesito e' uno dei piu' triti e ritriti
dell'algebra e ho avuto qualche attimo di nausea
nel postarne la soluzione.
karl.
- karl
da Nessuno@ » 11/01/2005, 19:53
<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Originally posted by Mistral</i>
PS non avevo visto la risposta senno mi risparmiavo la fatica
<hr height="1" noshade id="quote"></font id="quote"></blockquote id="quote">
E' servita invece!Ora capisco perchè deve essere Q(x)-P(x)=0!
@Karl:Non capisco qual'è il tuo problema...Non dirmi che ti sei arrabbiato per così poco..
Pensavo che lo spirito di questo forum fosse quello di proporre esercizi di cui non si conosce la soluzione o non è così?
PS non avevo visto la risposta senno mi risparmiavo la fatica
<hr height="1" noshade id="quote"></font id="quote"></blockquote id="quote">
E' servita invece!Ora capisco perchè deve essere Q(x)-P(x)=0!
@Karl:Non capisco qual'è il tuo problema...Non dirmi che ti sei arrabbiato per così poco..
Pensavo che lo spirito di questo forum fosse quello di proporre esercizi di cui non si conosce la soluzione o non è così?
- Nessuno@
da karl » 11/01/2005, 20:05
@nessuno e Mistral.
Poniamo la questione in questo modo :perche' un polinomio,
di grado n,che ha n+1 radici deve essere identicamente nullo
(piu' precisamente deve avere tutti i coefficienti nulli)?
Rispondere ,per piacere,senza far riferimento a miracolose
e miracolistiche intuizioni!
karl.
Poniamo la questione in questo modo :perche' un polinomio,
di grado n,che ha n+1 radici deve essere identicamente nullo
(piu' precisamente deve avere tutti i coefficienti nulli)?
Rispondere ,per piacere,senza far riferimento a miracolose
e miracolistiche intuizioni!
karl.
- karl
da Nessuno@ » 11/01/2005, 20:24
<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Originally posted by karl</i>
@nessuno e Mistral.
Poniamo la questione in questo modo :perche' un polinomio,
di grado n,che ha n+1 radici deve essere identicamente nullo
(piu' precisamente deve avere tutti i coefficienti nulli)?
Rispondere ,per piacere,senza far riferimento a miracolose
e miracolistiche intuizioni!
karl.
<hr height="1" noshade id="quote"></font id="quote"></blockquote id="quote">
Ma quali intuizioni?!?!
Gauss dimostrò nel 1799(Teorema fondamentale dell'algebra noto come FTA)che ogni polinomio nel campo complesso ha almeno uno zero.Ciò per il teorema di Ruffini equivale a dire che ogni polinomio di grado n ha n radici(da ricercasi in C).Si deduce che un polinomio di grado n non può avere n+1 radici.
Ovviamente nei teoremi sopra elencati si è supposto n>0.
Se n=0 dovrà essere a(0)=0,affinchè Q(x)-P(x) si annulli per qualunque valore di x.
@nessuno e Mistral.
Poniamo la questione in questo modo :perche' un polinomio,
di grado n,che ha n+1 radici deve essere identicamente nullo
(piu' precisamente deve avere tutti i coefficienti nulli)?
Rispondere ,per piacere,senza far riferimento a miracolose
e miracolistiche intuizioni!
karl.
<hr height="1" noshade id="quote"></font id="quote"></blockquote id="quote">
Ma quali intuizioni?!?!
Gauss dimostrò nel 1799(Teorema fondamentale dell'algebra noto come FTA)che ogni polinomio nel campo complesso ha almeno uno zero.Ciò per il teorema di Ruffini equivale a dire che ogni polinomio di grado n ha n radici(da ricercasi in C).Si deduce che un polinomio di grado n non può avere n+1 radici.
Ovviamente nei teoremi sopra elencati si è supposto n>0.
Se n=0 dovrà essere a(0)=0,affinchè Q(x)-P(x) si annulli per qualunque valore di x.
- Nessuno@
da karl » 11/01/2005, 21:21
Hai scaricato sul malcapitato Gauss
l'onere della dimostrazione!
Rimanendo nel campo reale ,la mia domanda
tendeva ad ottenere una qualsivoglia
giustificazione del teorema.Puntualmente
mi e' giunto il riferimento ad una altro teorema:
insomma siamo al girotondo infinito.
Voglio essere sincero con te:mi ha seccato
(appena un po',beninteso) il fatto che sia stato ignorato
il mio riferimento al sistema omogeneo e al
determinate di Vandermonde che rappresentava di fatto
la dimostrazione richiesta.
Ma non fa niente, anzi ti chiedo scusa per la noia che ti
ho procurato e per l'insistenza delle mie repliche.
Ti saluto.
karl.
l'onere della dimostrazione!
Rimanendo nel campo reale ,la mia domanda
tendeva ad ottenere una qualsivoglia
giustificazione del teorema.Puntualmente
mi e' giunto il riferimento ad una altro teorema:
insomma siamo al girotondo infinito.
Voglio essere sincero con te:mi ha seccato
(appena un po',beninteso) il fatto che sia stato ignorato
il mio riferimento al sistema omogeneo e al
determinate di Vandermonde che rappresentava di fatto
la dimostrazione richiesta.
Ma non fa niente, anzi ti chiedo scusa per la noia che ti
ho procurato e per l'insistenza delle mie repliche.
Ti saluto.
karl.
- karl
da Nessuno@ » 11/01/2005, 23:29
<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Originally posted by karl</i>
Voglio essere sincero con te:mi ha seccato
(appena un po',beninteso) il fatto che sia stato ignorato
il mio riferimento al sistema omogeneo e al
determinate di Vandermonde
<hr height="1" noshade id="quote"></font id="quote"></blockquote id="quote">
Nessuno ha ignorato questo riferimento,ne tantomeno l'ha giudicato errato.Errato è stato invece ,l'atteggiamento aggressivo con cui ,già dai primi posts,ti sei rivolto a me e a Mistral.E quali sono stati i motivi di questa letterale aggressione?E i motivi per i quali mi hai praticamente paragonato ad un imbecille?
<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Originally posted by karl</i>
Il buon nessuno@ posta i quesiti ma non
ne capisce le risposte!Quanto al 2° quesito e' uno dei piu' triti e ritriti
dell'algebra e ho avuto qualche attimo di nausea
nel postarne la soluzione.
karl.
<hr height="1" noshade id="quote"></font id="quote"></blockquote id="quote">
Può essere che io sia ignorante(tutte queste cose le sto facendo per conto mio,senza alcun aiuto,per prepararmi alla normale),ma il tuo atteggiamento è comunque spropositato e e va contro lo spirito che ha sempre animato questo forum.
Ad ogni modo accetto volentieri le tue scuse nella speranza che ti aiutino a riflettere e a cambiare
Nessuno
Voglio essere sincero con te:mi ha seccato
(appena un po',beninteso) il fatto che sia stato ignorato
il mio riferimento al sistema omogeneo e al
determinate di Vandermonde
<hr height="1" noshade id="quote"></font id="quote"></blockquote id="quote">
Nessuno ha ignorato questo riferimento,ne tantomeno l'ha giudicato errato.Errato è stato invece ,l'atteggiamento aggressivo con cui ,già dai primi posts,ti sei rivolto a me e a Mistral.E quali sono stati i motivi di questa letterale aggressione?E i motivi per i quali mi hai praticamente paragonato ad un imbecille?
<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Originally posted by karl</i>
Il buon nessuno@ posta i quesiti ma non
ne capisce le risposte!Quanto al 2° quesito e' uno dei piu' triti e ritriti
dell'algebra e ho avuto qualche attimo di nausea
nel postarne la soluzione.
karl.
<hr height="1" noshade id="quote"></font id="quote"></blockquote id="quote">
Può essere che io sia ignorante(tutte queste cose le sto facendo per conto mio,senza alcun aiuto,per prepararmi alla normale),ma il tuo atteggiamento è comunque spropositato e e va contro lo spirito che ha sempre animato questo forum.
Ad ogni modo accetto volentieri le tue scuse nella speranza che ti aiutino a riflettere e a cambiare
Nessuno
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