Induzione

[Nessuno@]

Dimostrare induttivamente che:
i) 1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+...+1/(n*(n+1))=n/(n+1)

ii)1-1/2+1/3-1/4+...+1/(2n-1)-1/2n= 1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+...+1/2n

[karl]

i)Per n=1 la formula e' vera.Supponiamo che sia vera per n
e dimostriamo che e' vera per n+1.
Per semplicita' poniamo:
S(n)=1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+...+1/(n*(n+1)) [=n/(n+1)]
Si ha allora:
S(n+1)=1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+...+1/(n*(n+1))+1/[(n+1)(n+2)]
ovvero :
S(n+1)=S(n) +1/[(n+1)(n+2)] cioe'
S(n+1)=n/(n+1)+1/[(n+1)(n+2)]=[n(n+2)+1]/[(n+1)(n+2)]
Dunque:
S(n+1)=(n^2+2n+1)/[(n+1)(n+2)]=(n+1)^2/[(n+1)(n+2)]=(n+1)/(n+2)
Cio' prova che la formula e' valida anche per n+1 e quindi
e' valida per qualunque n( intero positivo).
karl.

[Nessuno@]

Perfetto!Ho capito tutto

[karl]

ii)Per n=1 la formula e' vera.Supponiamo che sia vera per n
e dimostriamo che e' vera per n+1.
Per semplicita' poniamo:
S(n)=1-1/2+1/3+...+1/(2n-1)-1/(2n) [=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+...+1/(2n)]
Si ha ora:
S(n+1)=[1-1/2+1/3+...+1/(2n-1)-1/(2n)]+[1/(2n+1)-1/(2(n+1))]
ovvero:
S(n+1)=S(n)+[1/(2n+1)-1/(2(n+1))] cioe':
S(n+1)=[1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+....+1/(2n)]+[1/(2n+1)-1/(2(n+1))]
e sommando il primo ed ultimo termine:
S(n+1)=1/(n+2)+1/(n+3)+....+1/(2n)+1/(2n+1)+[1/(n+1)-1/(2(n+1))]
Facendo i calcoli nella parentesi quadra:
S(n+1)=1/(n+2)+1/(n+3)+....+1/(2n)+1/(2n+1)+1/(2(n+1))
Quest'ultimo risultato prova che la formula e' valida anche
per n+1 e quindi vale sempre.
karl.

[Nessuno@]

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Originally posted by karl</i>

S(n+1)=1/(n+2)+1/(n+3)+....+1/(2n)+1/(2n+1)+1/(2(n+1))
Quest'ultimo risultato prova che la formula e' valida anche
per n+1 e quindi vale sempre.
<hr height="1" noshade id="quote"></font id="quote"></blockquote id="quote">
Non mi ritorna quest'ultimo passaggio
Mutando n in n+1 nel polinomio:
1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n
si ottiene il polinomio
1/(n+2)+1/(n+3)+...+1/2(n+1)
che non riesco a rincodurre all'altro per il 1/(2n+1)!

[karl]

Ho scritto per completezza anche il penultimo termine.
Il penultimo termine di Sn e' 1/(2n-1);il penultimo termine
di S(n+1) si ottiene sostituendo n con n+1.Quindi:
penultimo termine di S(n+1)=1/[2(n+1)-1]=1/(2n+1) come
in effetti risulta.
karl.