principio di induzione

[Robin]

Salve a tutti.
Avrei bisogno di comprendere bene il principio di induzione e, facendo un esempio, vorrei sapere se è possibile dimostrare per induzione la seguente affermazione:
"tutti gli uomini hanno i capelli scuri".
Fino ad un certo punto ci potrei pure essere, infatti per n=1 è chiaro che un uomo ha il colore dei capelli di se stesso.
Adesso ammetto vera l'affermazione per n - 1, cioè P(n-1) è vera.
E' possibile dimostrare per induzione che P(n) è vera?
Cioè se voglio provare l'affermazione per n=5, io ammetto che per n=4 è vera, ossia l'insieme (1, 2, 3 , 4) che è = ad n - 1 è formato da uomini che hanno i capelli scuri (per l'ipotesi induttiva).
Ma anche l'insieme (1, 2, 3, 5) è = n - 1.
Come dimostro che il 5° uomo ha anch'esso i capelli scuri?
Forse sarà banale ma ho bisogno della spiegazione.

[Robin]

Inoltre, se è possibile, vorrei sapere come si dimostrano le proprietà dell'addizione e della moltiplicazione in N dei naturali naturali (commutativa, associativa, distributiva, esistenza dell'elemento neutro) usando gli assiomi di Peano. Grazie di tutto anticipatamente

[Luca.Lussardi]

Il principio di induzione matematica nella sua forma piu' fondamentale possibile e' deducibile direttamente dagli assiomi di Peano. Il punto della questione pero' e' che il principio di induzione funziona una volta fissato l'ordine dell'insieme, e questo e' fissato, in N, da un assioma di Peano, quello che postula l'esistenza di un successivo. Questa osservazione fa subito cadere l'applicazione che hai fatto del principio di induzione che infatti porta ad una affermazione di per se' falsa.

Per quanto riguarda la dimostrazione delle proprieta' delle operazioni, la cosa piu' importante e' anzitutto dare una buona definizione di somma e prodotto, e questo si fa dando una definizione per ricorrenza. Una volta definite somma e prodotto di numeri naturali, non e' difficile, ma abbastanza lungo e noioso, dimostrare per induzione le regole di calcolo.



Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[Robin]

Grazie, sempre chiarissimo e disponibile.