Induzione + limite

[gicif]

Buonasera a tutti,
desidero chiedere cortesemente qualche suggerimento su un paio di problemini.

1)
Dimostrare per induzione che
sommatoria per k da 1 a n di 1/(k^2) <= 2 - 1/n.
La base dell'induzione è banalmente verificata, quindi applicando l'ipotesi induttiva alla proposizione (n+1) ottengo:
sommatoria per k da 1 a n di 1/(k^2) + 1/((n+1)^2) <= 2 - 1/n + 1/((n+1)^2) e, da qui, dovrei dimostrare che l'ultima disuguaglianza è < 2 - 1/(n+1)
A questo punto non ne salto fuori; ho provato qualche sviluppo algebrico ma non vedo come riportarmi alla tesi.


2)
Calcolare il limite per x->0 di ((sinx)^2 - xsinx)/((cosx-1)^2)
Dico subito che il limite vale -2/3 e l'ho verificato in due modi: applicando l'Hopital (4 volte) e con gli sviluppi in serie al secondo ordine.
Quello che vorrei sapere è se si potrebbe anche risolvere mediante limiti notevoli. Mi puzza di sì, ma non saprei come.

Grazie 1000!
Giuseppe

[Luca.Lussardi]

Quanto al primo esercizio e' facile: se fai il conto devi dimostrare che (n^2+n+1)/(n(n+1)^2)>1/(n+1), disuguaglianza vera e banale da verificare.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[Luca.Lussardi]

Quanto al limite, sono partito con trucchi, ma prima o poi ho dovuto anche io usare de l'Hopital per cavarmela. Una sola volta pero' e' stato sufficiente.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[gicif]

Ciao Luca,
ho visto i suggerimenti e ti ringrazio infinitamente per l'aiuto e la disponibilità.