Inviato: 29/10/2009, 10:32Risolviamo un sistema di due congruenze
(*) ${(x-=a\ mod\ n),(x-=b\ mod\ m):}$
con $M.C.D.(n,m)=1$
Innanzituttosi prova che, se $x_0$ è una soluzione particolare di (*), tutte e sole le soluzioni di (*) sono nella forma $x_0+knm$, con $k\in ZZ$.
Quindi basta trovare una soluzione particolare di (*).
Denotiamo con $x_1$ e $x_2$ rispettivamente una soluzione di (a) e (b) dove
(a) $mx-=a\ mod\ n$
(b) $nx-=b\ mod\ m$
Allora si dimostra che $x_0=mx_1+nx_2$ è una soluzione particolare di (*).
Esempio: risolvo il tuo sistema.
${(x-=2\ mod\ 5),(x-=8\ mod\ 11):}$
$11x-=2\ mod\ 5$ equivale (visto che $11$ è congruo a $1$ modulo $5$) a $x-=2\ mod\ 5$. Una soluzione è $x_1=2$.
$5x-=8\ mod\ 11$. Una soluzione è $x_2=6$. ($6\cdot 5=30$ che ha lo stesso resto di $8$ nella divisione per $11$)
Quindi $x_0=11\cdot 2+5\cdot 6=52$.
La soluzione generale della tua congruenza è $52+55k$ o meglio $-3+55k$, con $k\in ZZ$.
P.S. Ti ho dato un procedimento meccanico, ma che una soluzione particolare era $-3$ si vedeva già dall'inizio...
(*) ${(x-=a\ mod\ n),(x-=b\ mod\ m):}$
con $M.C.D.(n,m)=1$
Innanzituttosi prova che, se $x_0$ è una soluzione particolare di (*), tutte e sole le soluzioni di (*) sono nella forma $x_0+knm$, con $k\in ZZ$.
Quindi basta trovare una soluzione particolare di (*).
Denotiamo con $x_1$ e $x_2$ rispettivamente una soluzione di (a) e (b) dove
(a) $mx-=a\ mod\ n$
(b) $nx-=b\ mod\ m$
Allora si dimostra che $x_0=mx_1+nx_2$ è una soluzione particolare di (*).
Esempio: risolvo il tuo sistema.
${(x-=2\ mod\ 5),(x-=8\ mod\ 11):}$
$11x-=2\ mod\ 5$ equivale (visto che $11$ è congruo a $1$ modulo $5$) a $x-=2\ mod\ 5$. Una soluzione è $x_1=2$.
$5x-=8\ mod\ 11$. Una soluzione è $x_2=6$. ($6\cdot 5=30$ che ha lo stesso resto di $8$ nella divisione per $11$)
Quindi $x_0=11\cdot 2+5\cdot 6=52$.
La soluzione generale della tua congruenza è $52+55k$ o meglio $-3+55k$, con $k\in ZZ$.
P.S. Ti ho dato un procedimento meccanico, ma che una soluzione particolare era $-3$ si vedeva già dall'inizio...
