polinomi a coefficienti interi

Messaggioda alfiotto » 11/07/2005, 13:36

ciao a tutti.
vorrei una certezza su questo fatto.
ho letto più volte:
in un polinomio a coefficienti interi gli zeri reali, se ci sono, si devono cercare tra i divisori interi del termine noto.
vorrei sapere le condizioni per cui questo vale.
per certo so che il coefficiente di grado massimo deve essere uno.
ho il sospetto che il polinomio debba essere completo, e su questo vorrei un conforto.
infine vorrei sapere se questi zeri reali (in un polinomio completo a coefficienti interi con coeff del grado max =1, blablabla) sono da cercare SOLO tra i divisori o ce ne possono essere altri all'infuori di questi.
questo risultato è collegato al teorema di ruffini ma questo cavillo non so dove cercarlo. e ho trovato alcuni controesempi, che mi sembrava facessero crollare tutto.
aiutatemi.
grazie

Alfi
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Messaggioda karl » 11/07/2005, 17:16

Fai un po' di confusione tra zeri reali e zeri interi.
E' vero che gli zeri INTERI di un polinomio (se esistono)
vanno da ricercarsi tra i divisori INTERI del termine noto
ma cio' non esclude che vi siano zeri reali NON DIVISORI INTERI
del termine noto.Cio' avviene ad esempio in presenza di zeri
irrazionali.
Il polinomio NON deve essere necessariamente completo (altrimenti
un polinomio incompleto non potrebbe avere zeri interi!).
Al piu' conviene ordinare il polinomio in senso decrescente rispetto
alle potenze della variabile da cui dipende.
Esempio.
x^2-4 ha due zeri interi x=-2 e x=+2 e tuttavia non e' completo.
Il primo coefficiente non deve essere necessariamente uguale ad 1.
Esempio:
3x^2-2x-1 ha come zero intero x=1 ma il primo coefficiente e' 3.
Non ci possono essere zeri interi che NON siano divisori del termine
noto ma non tutti i divisori del termine noto sono per forza
zeri interi.
Quanto alle condizioni perche' un divisore intero del termine noto
sia uno zero intero ,e' sufficiente verificare che tale
divisore annulli il polinomio.
Ci sarebbe da fare anche un discorso sugli zeri razionali
ma non interi cioe' del tipo m/n con n diverso da 1.
Ciao.
karl
 

Messaggioda alfiotto » 11/07/2005, 21:44

perfetto, grazie.
il mio dubbio era proprio su questo che ora mi hai spiegato:

Non ci possono essere zeri interi che NON siano divisori del termine
noto ma non tutti i divisori del termine noto sono per forza
zeri interi.

sei stato molto chiaro ed esauriente.
alla prossima.
ciao

Alfi
alfiotto
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Messaggioda Galois1985 » 11/07/2005, 22:00

ottima risposta archimede...una precisazione per gli addetti ai lavori o quasi... la cosa interessante dell'anello Z[x] ( polinomi a coefficienti interi ) è che pur essendo un dominio di integrità non è un dominio ad ideali principali... ( si consideri ad esempio l'ideale generato da <2,x> (2a(x)+xb(x)), non è un ideale principale ) =)cmq dei polinomi si potrebbe parlare a lungo! anche perchè ci sono sviluppi recenti non noti ai più estremamente interessanti =) e.Galois
Galois1985
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