da Woody » 24/07/2005, 18:18
Ho trovato da me una dimostrazione diversa da quelle proposte nel sito indicato da Piera, che fa però uso del Teorema sui numeri primi, e ha il difetto di supporre che esista sempre un numero primo fra n e 2*n , per ogni n naturale. Il Teo dei num. primi afferma che: se:
pi(n) = #(numeri primi minori o uguali a n) , allora vale:
lim pi(n)*log(n)/n = 1 .
n->inf
Sia p_k successione tale che:
p_1 = 2;
p_(n+1) = min(p primi: p > p_n) per ogni n naturale.
La serie dei reciproci dei primi può così essere scritta come:
serie(1/p_k,k=1..inf).
Oss: pi(p_k)=k per ogni k naturale. Segue dal Teo precedente:
k*log(p_k)/p_k -> 1 dunque p_k è asintotico a k*log(p_k) . Poichè esiste sempre un primo fra n e 2*n, risulta:
p_k <= 2^k per ogni k naturale. Segue che:
k*log(p_k) <= log(2)*k^2 per ogni k naturale; dunque esiste M reale tale che:
p_k <= M*k^2 . Segue che:
1/(k*log(p_k)) >= 1/(2*k*log(M*k)) per ogni k naturale. Poichè la serie associata a 1/(2*k*log(M*k)) diverge, si deduce per confronto che anche la serie associata a 1/(k*log(p_k)) diverge e quindi, per confronto asintotico, la serie dei 1/p_k diverge. cvd.
Ho fatto errori? Se ne trovate, segnalatemeli. Vi ringrazio per il vostro aiuto. Ciao!
Woody