10^x=m

Messaggioda cavallipurosangue » 25/07/2005, 15:58

Ciao ragazzi, volevo proporvi questo quesito:
Sia m un numero intero positivo, dimostrare che le soluzioni dell'equazione 10^x=m o sono intere o irrazionali..
Si capisce facilmente che le soluzioni con m una potenza di dieci saranno sicuramente intere, ma come si fa a dimostrare che tutti gli altri numeri sono irrazionali, invece? [xx(]

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A perenne vanto della scienza sta il fatto che essa, agendo sulla mente umana, ha vinto l'insicurezza dell'uomo di fronte a se stesso e alla natura.
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Messaggioda Luca.Lussardi » 25/07/2005, 16:23

Se m e' una potenza di 10, allora x e' intero. Supponiamo che x sia soluzione razionale, x=p/q, con p e q primi tra loro. Allora, per il Th di fattorizzazione unica, 2^(p/q)5^(p/q)=m=p_1^a_1*...*p_s^a_s. Quindi 2^p*5^p=p_1^(a_1q)*...*p_s^(a_sq). Ma allora deve essere, per esempio, p=a_1q, con a_1 intero positivo, che contraddice il fatto che p e q siano primi tra loro.

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Messaggioda cavallipurosangue » 25/07/2005, 16:55

Scusa, ma non capisco bene la scrittura del teorema, il quale per me è completamente nuovo

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Messaggioda Luca.Lussardi » 25/07/2005, 17:15

Il Th di fattorizzazione l'ho usato solo per scrivere m scomposto in fattori primi, ciascuno con il proprio esponente.

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