Morfismi su R.

Salve! Problema di Algebra: determinare tutti i morfismi di R in R.
Ringrazio tutti coloro che interverranno. Ciao!

Woody

Devi specificare che struttura dai a R.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

Con "morfismi" intendevo "omomorfismi di anelli". (Naturalmente R è l'anello dei numeri reali).

Woody

Dovrebbe essere solo l'dentita'. E' facile vedere che ogni omomorfismo di anelli da R in R e' l'identita' se ristretto a Q (prima lo fai vedere in Z, poi si estende subito a Q). Il problema oar e' dire che e' l'identita' a tutto R... potrebbe non essere continuo, poiche' se e' continuo e' banale, dal momento che Q e' denso in R. Non so, ci vorrebbe qualche risultato di rialzamento degli omomorfismi: tieni conto che Q e' il sottocampo minimo di R.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

Anche io sono giunto alle tue stesse conclusioni. Il problema della continuità si riduce al problema della conservazione della relazione d'ordine: se f è un morfismo tale che per ogni x>0 risulta f(x)>0 , allora f è continua e quindi è l'identità. Resta da stabilire se ogni omomorfismo conservi la relazione d'ordine...

Woody

Perche' se f>0 allora e' continua?

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

Sappiamo che se f è un omomorfismo, allora f è un isomorfismo (R è un campo). Supponiamo che : per ogni x in R:
x>0 --> f(x)>0 . Allora vale anche:
x<0 --> -x>0 --> f(-x)>0 --> -f(x)>0 --> f(x)<0 . Segue:
f(|x|) = |f(x)| per ogni x in R.
Siano a,b reali. Se a<b --> b-a>0 --> f(b-a)>0 --> f(a)<f(b) .
Sia e>0 arbitrario. Sia x0 numero reale. Sia d=f^(-1)(e). Allora:
|x-x0|<d -->
|f(x)-f(x0)| = |f(x-x0)| = f(|x-x0|) < f(d) = e .
Dunque f è continua.

Woody

Si, quindi il punto fondamentale e' che se f e' isomorfismo crescente, allora deve essere continuo. Quindi va dimostrato che f cresce su tutto R...

Io conosco un Teorema che dice che se f(x+y)=f(x)+f(y) e f e' misurabile, allora f e' lineare. Nel nostro caso verrebbe che f e' dunque l'identita', essendo f(1)=1. Quindi il problema e': un isomorfismo da R in R come anelli, e' misurabile?

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

Purtroppo non conosco la nozione di funzione misurabile... Se non è troppo difficile o lunga da scrivere, me la potresti spiegare? Grazie!

Woody

Ehm... e' troppo lunga, pero' non saprei come dimostrare che un omomorfismo di R in R come anelli e' misurabile. Dovresti conoscere la Misura di Lebesgue anzitutto... non l'hai fatta in Analisi 2?

Esiste un esempio di funzione f che verifica f(x+y)=f(x)+f(y), con f(1)=1, non misurabile, e che quindi non e' lineare. Ora mi chiedo se la condizione f(xy)=f(x)f(y) garantisce la misurabilita'...ci penso ma non ti garantisco nulla... lo vedo piu' come esercizio algebrico a questo punto.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it