Messaggioda Woody » 29/07/2005, 11:56

No, mi spiace, io ho finito il 1° anno di Matematica, e non so nulla della misura di Lebesgue; ma cercherò di documentarmi sull'argomento. Comunque grazie di tutto! Ciao!

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Messaggioda Luca.Lussardi » 29/07/2005, 12:13

No aspetta, ma ti e' stato dato come esercizio di Algebra 1 allora?

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Messaggioda Woody » 29/07/2005, 18:42

Per la verità non mi è stato dato come esercizio... E' un problema che mi sono posto da solo, così, per interesse personale! Forse va al di là delle mie conoscenze...

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Messaggioda Luca.Lussardi » 30/07/2005, 08:08

Ah, ho capito. E' facile dire che l'identita' e' il solo omomorifismo di campo da R in R, ma di anelli non e' detto. Ci penso ancora anche io se c'e' una via algebrica...

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Messaggioda Woody » 30/07/2005, 10:21

Scusa, cosa intendi con "omomorfismo di campo"?

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Messaggioda Luca.Lussardi » 30/07/2005, 10:35

Se praticamente diventa omomorfismo di spazio vettoriale. Cioe' se vale anche
f(ax)=af(x), per ogni a nel campo degli scalari (che e' ancora R), e per ogni x in R.

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Messaggioda Mistral » 31/07/2005, 10:17

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Originally posted by Woody</i>

Salve! Problema di Algebra: determinare tutti i morfismi di R in R.
Ringrazio tutti coloro che interverranno. Ciao!

Woody
<hr height="1" noshade id="quote"></font id="quote"></blockquote id="quote">
Ecco una proprieta utile, e non difficile da dimostrare (ha solo un po' passaggi di verifica).

P1)-inizio
In generale se K è un campo (e questo è il caso di R) ed f morfismo di K in una struttura algebrica K' dotata si due operazioni binarie, allora:

1) f(K) è un anello
2) Se f(K)<> {0K'} allora f(K) è un campo isomorfo a K.
P1)-fine

Quindi in base a P1 una qualsiasi struttura algebrica se è immagine di R tramite un omomorfismo f, escludendo il caso banale f(K)<> {0K'}, è un campo isomorfo ad R.

Se Q è l'insieme dei razionali, allora possiamo considerare la restrizione di f ad Q, che indico con f|Q. Basandosi sul fatto che
f(1)=1 Si può dimostrare la seguente:

P2) f|Q è la funzione identica di Q in se stesso.

Quindi in particolare Q è un sottoinsieme di f(R) (che è un sottoinsieme di R). Per arrivare a dire che f(R)=R, bisogna introdurre le relazioni d'ordine e il concetto di completezza. Infatti R è un campo ordinato archimedeo completo. Se si assume questo e si assume che f sia compatibile con la relazione d'ordine (cioè la preserva), allo f diventa l'identità di R in se stesso. Alternativamente è sufficiente assumere che f sia continua.

In particolare riferendosi alla continuità è facile capire perchè è nessaria la continuità di f per arrivare a dire che è identica. Prima di tutto ricordiamo che si assume che implicitamente che l'R dell'insieme di arrivo di f sia dotato della metrica ordinaria di R (valore assoluto). Fatta questa precisazione se consideriamo una qualsiasi successione di Cauchy di razionali nell'insieme di partenza di f, essa converge ad un elemento di R, quello che ci manca e di poter dire che la stessa successione converga allo stesso numero nell'insieme di arrivo. Questo è sicuramente vero se f continua con insieme di arrivo e di partenza dotati entrambi della metrica del valore assoluto.

Spero di non aver aumentato la confusione!

Saluti

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Messaggioda Luca.Lussardi » 31/07/2005, 19:17

E' esattamente il punto in cui siamo arrivati anche noi; il problema e' che non e' detto che un omomorfismo di anelli da R in R sia continuo.

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Messaggioda Mistral » 01/08/2005, 19:16

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Originally posted by Luca.Lussardi</i>

E' esattamente il punto in cui siamo arrivati anche noi; il problema e' che non e' detto che un omomorfismo di anelli da R in R sia continuo.

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<hr height="1" noshade id="quote"></font id="quote"></blockquote id="quote">

Volevo solo puntualizzare in modo sintetico il contenuto teorico delle varie affermazioni.


Sarebbe comunque interessante costruire un morfismo f tale che f(R)<>R, ammesso che questo esista.

Ecco alcune divagazioni, che mi suggerisco che f(R) possa essere un insieme piuttosto interessante.
Se si suppone che esiste f tale che f(R)<>R.

(1)Sia x un elemento di R-f(R), posso considerare l'insieme
Mx={y in f(R):y=<x} allora sup Mx=x dato che Q è contenuto in f(R).

(2)f(R) non può essere un insieme chiuso di R, altrimenti non conterrebbe tutti i suoi punti di accumulazione e dato che contiene Q coinciderebbe con R.

(3) f(R) non può essere connesso, basta ragionare sull'effetto che questo avrebbe su (1)

(4)R-f(R) non può essere finito, in quanto altrimenti basta considerare il minimo elemento e scomporlo come una somma a+b di elementi in f(R).

(5) R-f(R) non può essere numerabile. Se per assurdo fosse numerabile potremmo ordinare i suoi elementi in ordine crescente
R-f(R)={xk:k in Z}
e si può scomporre nella successione di elementi positivi, considerendo il minimo elemento positivo è la somma di due elementi in f(R) quindi è in f(R) da cui l'assurdo.

(6)Sia R che R-f(R) sono simmetrici. Siccome f(R) è un campo contiene 0, inoltre se f(R) non contiene x non può nemmeno contenere -x. Quindi se x non sta in f(R), allora sta in R-f(R) e lo stesso vale per-x.

(7)Siccome f(R) è un campo contiene 1, inoltre se f(R) non contiene x non può nemmeno contenere 1/x. Quindi se x non sta in f(R), allora sta in R-f(R) e lo stesso vale per 1/x.


Quindi sia R-f(R) che f(R) hanno la potenza del continuo, ogni elemento di R-f(R) è limite di una successione di elementi di
f(R). Entrambi gli insieme non sono chiusi ,....

a voi ulteriori divagazioni esiste l'insieme?...sospetto di no

Saluti
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Messaggioda Woody » 01/08/2005, 19:29

Bella divagazione, Mistral! Però in ogni caso se f è un omomorfismo di anelli di R in sè allora è un isomorfismo, quindi è suriettivo e quindi f(R)=R .
Ecco a voi un altra divagazione. Forse il seguente risultato può essere utile per la risoluzione del problema.
Sia M l'insieme delle successioni convergenti a termini razionali.
Indichiamo con {a_n} la successione di termine generico a_n .
Definiamo:

{a_n} + {b_n} := {a_n + b_n} ;
{a_n}*{b_n} := {a_n*b_n} ;

per ogni {an} , {bn} app. a M .

E' facile verificare che (M, +, *) è un anello commutativo; in particolare:
0_M = (0, 0, 0 ...) ;
1_M = (1, 1, 1 ...) .
Sia ora f : M --> R definita da:
f({qn}) = lim q_n
n->inf
per ogni {q_n} app. a M.

Dalle proprietà di somma e prodotto fra limiti segue che f è un morfismo di anelli. Inoltre, poiché per ogni x in R esiste {qn} app. a M : qn -> x , segue che f è suriettivo. Infine: {qn} app. a ker(f) <--> q_n -> 0 . Se chiamiamo:
I := {{qn} app. a M | qn -> 0} , allora dal 1° teorema di isomorfismo segue che R è isomorfo a M/I .

Saluti e buon lavoro!


Woody
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