Matematicamente.it

No, mi spiace, io ho finito il 1° anno di Matematica, e non so nulla della misura di Lebesgue; ma cercherò di documentarmi sull'argomento. Comunque grazie di tutto! Ciao!

Woody

No aspetta, ma ti e' stato dato come esercizio di Algebra 1 allora?

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

Per la verità non mi è stato dato come esercizio... E' un problema che mi sono posto da solo, così, per interesse personale! Forse va al di là delle mie conoscenze...

Woody

Ah, ho capito. E' facile dire che l'identita' e' il solo omomorifismo di campo da R in R, ma di anelli non e' detto. Ci penso ancora anche io se c'e' una via algebrica...

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

Scusa, cosa intendi con "omomorfismo di campo"?

Woody

Se praticamente diventa omomorfismo di spazio vettoriale. Cioe' se vale anche
f(ax)=af(x), per ogni a nel campo degli scalari (che e' ancora R), e per ogni x in R.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Originally posted by Woody</i>

Salve! Problema di Algebra: determinare tutti i morfismi di R in R.
Ringrazio tutti coloro che interverranno. Ciao!

Woody
<hr height="1" noshade id="quote"></font id="quote"></blockquote id="quote">
Ecco una proprieta utile, e non difficile da dimostrare (ha solo un po' passaggi di verifica).

P1)-inizio
In generale se K è un campo (e questo è il caso di R) ed f morfismo di K in una struttura algebrica K' dotata si due operazioni binarie, allora:

1) f(K) è un anello
2) Se f(K)<> {0K'} allora f(K) è un campo isomorfo a K.
P1)-fine

Quindi in base a P1 una qualsiasi struttura algebrica se è immagine di R tramite un omomorfismo f, escludendo il caso banale f(K)<> {0K'}, è un campo isomorfo ad R.

Se Q è l'insieme dei razionali, allora possiamo considerare la restrizione di f ad Q, che indico con f|Q. Basandosi sul fatto che
f(1)=1 Si può dimostrare la seguente:

P2) f|Q è la funzione identica di Q in se stesso.

Quindi in particolare Q è un sottoinsieme di f(R) (che è un sottoinsieme di R). Per arrivare a dire che f(R)=R, bisogna introdurre le relazioni d'ordine e il concetto di completezza. Infatti R è un campo ordinato archimedeo completo. Se si assume questo e si assume che f sia compatibile con la relazione d'ordine (cioè la preserva), allo f diventa l'identità di R in se stesso. Alternativamente è sufficiente assumere che f sia continua.

In particolare riferendosi alla continuità è facile capire perchè è nessaria la continuità di f per arrivare a dire che è identica. Prima di tutto ricordiamo che si assume che implicitamente che l'R dell'insieme di arrivo di f sia dotato della metrica ordinaria di R (valore assoluto). Fatta questa precisazione se consideriamo una qualsiasi successione di Cauchy di razionali nell'insieme di partenza di f, essa converge ad un elemento di R, quello che ci manca e di poter dire che la stessa successione converga allo stesso numero nell'insieme di arrivo. Questo è sicuramente vero se f continua con insieme di arrivo e di partenza dotati entrambi della metrica del valore assoluto.

Spero di non aver aumentato la confusione!

Saluti

Mistral

E' esattamente il punto in cui siamo arrivati anche noi; il problema e' che non e' detto che un omomorfismo di anelli da R in R sia continuo.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Originally posted by Luca.Lussardi</i>

E' esattamente il punto in cui siamo arrivati anche noi; il problema e' che non e' detto che un omomorfismo di anelli da R in R sia continuo.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
<hr height="1" noshade id="quote"></font id="quote"></blockquote id="quote">

Volevo solo puntualizzare in modo sintetico il contenuto teorico delle varie affermazioni.


Sarebbe comunque interessante costruire un morfismo f tale che f(R)<>R, ammesso che questo esista.

Ecco alcune divagazioni, che mi suggerisco che f(R) possa essere un insieme piuttosto interessante.
Se si suppone che esiste f tale che f(R)<>R.

(1)Sia x un elemento di R-f(R), posso considerare l'insieme
Mx={y in f(R):y=<x} allora sup Mx=x dato che Q è contenuto in f(R).

(2)f(R) non può essere un insieme chiuso di R, altrimenti non conterrebbe tutti i suoi punti di accumulazione e dato che contiene Q coinciderebbe con R.

(3) f(R) non può essere connesso, basta ragionare sull'effetto che questo avrebbe su (1)

(4)R-f(R) non può essere finito, in quanto altrimenti basta considerare il minimo elemento e scomporlo come una somma a+b di elementi in f(R).

(5) R-f(R) non può essere numerabile. Se per assurdo fosse numerabile potremmo ordinare i suoi elementi in ordine crescente
R-f(R)={xk:k in Z}
e si può scomporre nella successione di elementi positivi, considerendo il minimo elemento positivo è la somma di due elementi in f(R) quindi è in f(R) da cui l'assurdo.

(6)Sia R che R-f(R) sono simmetrici. Siccome f(R) è un campo contiene 0, inoltre se f(R) non contiene x non può nemmeno contenere -x. Quindi se x non sta in f(R), allora sta in R-f(R) e lo stesso vale per-x.

(7)Siccome f(R) è un campo contiene 1, inoltre se f(R) non contiene x non può nemmeno contenere 1/x. Quindi se x non sta in f(R), allora sta in R-f(R) e lo stesso vale per 1/x.


Quindi sia R-f(R) che f(R) hanno la potenza del continuo, ogni elemento di R-f(R) è limite di una successione di elementi di
f(R). Entrambi gli insieme non sono chiusi ,....

a voi ulteriori divagazioni esiste l'insieme?...sospetto di no

Saluti
Mistral

Bella divagazione, Mistral! Però in ogni caso se f è un omomorfismo di anelli di R in sè allora è un isomorfismo, quindi è suriettivo e quindi f(R)=R .
Ecco a voi un altra divagazione. Forse il seguente risultato può essere utile per la risoluzione del problema.
Sia M l'insieme delle successioni convergenti a termini razionali.
Indichiamo con {a_n} la successione di termine generico a_n .
Definiamo:

{a_n} + {b_n} := {a_n + b_n} ;
{a_n}*{b_n} := {a_n*b_n} ;

per ogni {an} , {bn} app. a M .

E' facile verificare che (M, +, *) è un anello commutativo; in particolare:
0_M = (0, 0, 0 ...) ;
1_M = (1, 1, 1 ...) .
Sia ora f : M --> R definita da:
f({qn}) = lim q_n
n->inf
per ogni {q_n} app. a M.

Dalle proprietà di somma e prodotto fra limiti segue che f è un morfismo di anelli. Inoltre, poiché per ogni x in R esiste {qn} app. a M : qn -> x , segue che f è suriettivo. Infine: {qn} app. a ker(f) <--> q_n -> 0 . Se chiamiamo:
I := {{qn} app. a M | qn -> 0} , allora dal 1° teorema di isomorfismo segue che R è isomorfo a M/I .

Saluti e buon lavoro!


Woody