Messaggioda Mistral » 01/08/2005, 20:34

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Originally posted by Woody</i>

Bella divagazione, Mistral! Però in ogni caso se f è un omomorfismo di anelli di R in sè allora è un isomorfismo, quindi è suriettivo e quindi f(R)=R .
<hr height="1" noshade id="quote"></font id="quote"></blockquote id="quote">

Non ho capito spiega meglio.

Saluti

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Messaggioda Woody » 01/08/2005, 20:49

Supponiamo che f: R -> R sia un omomorfismo di anelli. ker(f) è un ideale di R; poichè R è un campo, esso ha solo ideali banali, quindi ker(f)=(0) --> f è iniettivo. Per il 1° teorema di omomorfismo:
Im(f) è isomorfo a R/(0); poichè R/(0) è ovviamente isomorfo a R, segue che Im(f) è isomorfo a R; ma Im(f) è un sottoanello di R, quindi Im(f)=R --> f è suriettivo.
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Messaggioda Mistral » 01/08/2005, 20:53

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Originally posted by Woody</i>

Supponiamo che f: R -> R sia un omomorfismo di anelli. ker(f) è un ideale di R; poichè R è un campo, esso ha solo ideali banali, quindi ker(f)=(0) --> f è iniettivo. Per il 1° teorema di omomorfismo:
Im(f) è isomorfo a R/(0); poichè R/(0) è ovviamente isomorfo a R, segue che Im(f) è isomorfo a R; ma Im(f) è un sottoanello di R, quindi Im(f)=R --> f è suriettivo.
Saluti

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Essere isomorfo ad R è differente dal dire che coincide con R...ad esempio 2Z è un sottoanello di Z isomorfo a Z ma non coincide con Z...


Saluti

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Messaggioda Woody » 02/08/2005, 10:58

2Z non è un sottoanello di Z, perchè non contiene l'1 di Z. 2Z è semmai un ideale di Z. Quindi non può essere neanche isomorfo a Z.
Saluti

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Messaggioda Woody » 02/08/2005, 20:24

Mi è venuto il sospetto che esistano omomorfismi di R in sè diversi dall'identità. Consideriamo:
Q[sqrt(2)] := (a + b*sqrt(2) | a, b app. a Q) .
Q[sqrt(2)] è un campo, ed è un sottoanello di R. Osservo che:
f: Q[sqrt(2)] --> Q[sqrt(2)] definita da:
f(a + b*sqrt(2)) = a - b*sqrt(2) per ogni a,b in Q ,
è un isomorfismo di anelli diverso dall'identità. Se si potesse in qualche modo estendere questo isomorfismo a R, allora avremmo risolto il problema.
Saluti,

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Messaggioda Mistral » 02/08/2005, 21:48

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Originally posted by Woody</i>

2Z non è un sottoanello di Z, perchè non contiene l'1 di Z. 2Z è semmai un ideale di Z. Quindi non può essere neanche isomorfo a Z.
Saluti

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La definizione di anello contempla il fatto che possa non contenere l'elemento neutro. Infatti nel caso di anelli con elemento neutro si parla anche di anelli unitari o dotati di unità.

In caso avessi dei dubbi ecco un link http://www.dm.unibo.it/matematica/Algeb ... anello.htm


Comunque tanto per non andare fuori tema credo che la tua affermazione:
<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote">
segue che Im(f) è isomorfo a R; ma Im(f) è un sottoanello di R, quindi Im(f)=R
<hr height="1" noshade id="quote"></font id="quote"></blockquote id="quote">
Non sia vera, e il mio esempio era solo per chiarire che isomorfi non vuol dire coincidenti.
Saluti
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Messaggioda Woody » 03/08/2005, 11:56

In effetti si può anche dare la definizione di anello senza che questo contenga l'elemento neutro, comunque io ho sempre inteso di lavorare con anelli con unità, e così continuerò a fare. Avrei dovuto dirvelo, domando scusa! Per quanto riguarda la seconda affermazione, forse hai ragione: finora l'ho dato per scontato, ma non riesco a trovare la dimostrazione di questo fatto. Potresti trovarmi un controesempio, cioè due anelli con unità A e B tali che: A è un sottoanello di B, A è isomorfo a B e A diverso da B? Grazie.
PS: intendo dire che l'unità di B deve essere l'unità di A.
Saluti,

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Messaggioda Mistral » 06/08/2005, 08:19

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Originally posted by Woody</i>

In effetti si può anche dare la definizione di anello senza che questo contenga l'elemento neutro, comunque io ho sempre inteso di lavorare con anelli con unità, e così continuerò a fare. Avrei dovuto dirvelo, domando scusa! Per quanto riguarda la seconda affermazione, forse hai ragione: finora l'ho dato per scontato, ma non riesco a trovare la dimostrazione di questo fatto. Potresti trovarmi un controesempio, cioè due anelli con unità A e B tali che: A è un sottoanello di B, A è isomorfo a B e A diverso da B? Grazie.
PS: intendo dire che l'unità di B deve essere l'unità di A.
Saluti,

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Considera il seguente:

Anello:Z[i]={a+ib:a,b in Z}
Sottoanello:H={a+2bi:a,b in Z}
Isomorfismo:f:Z[i]->H, definito come f(a+ib)=a+2bi

Mi sembra funzioni.

Comunque per la precizione esistono anche testi illustri di Algebra (ad esempio il Bourbakì) in cui l'anello senza unità non è chiamato anello ma pseudoanello.

Saluti
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Messaggioda Woody » 07/08/2005, 11:55

Grazie 1000 Mistral! Bell'esempio, mi ha chiarito le idee.
Riguardo all'argomento del mio topic, hai qualche altra idea? Io ci ho pensato e ripensato, ma non sono ancora riuscito ad approdare ad un risultato; ho solo buttato giù qualche idea in proposito. Le illustro sinteticamente di seguito.

1)Ogni omomorfismo dell'anello R in sè è iniettivo.

2)Sappiamo che R è uno spazio vettoriale su Q di dimensione infinita; per la precisione, ogni base di R è equipotente ad R. Un omomorfismo dell'anello R in sè è una funzione di R in R lineare su Q. Un teorema dell'algebra lineare assicura che, fissata una base B di R e una permutazione h: B -> B, esiste una funzione f: R -> R lineare su Q tale che: f(x)=h(x) per ogni x in B.

3)R+ (l'insieme dei reali strettamente positivi) è chiuso rispetto al prodotto e: se x appartiene a R+ e q è razionale, allora x^q appartiene a R+. Chiameremo la struttura agebrica (R+,*,^) spazio esponenziale di R+ su Q.
Si può dimostrare che: se esiste un base B del Q-spazio vettoriale R, allora esiste un sottoinsieme C di R+ tale che:
per ogni x in R+, esistono unici w_1..w_n app. a C e q_1..q_n razionali tali che:
x = prodotto((w_i)^(q_i),i=1..n) . Chiameremo base esponenziale tale sottoinsieme C di R+.
Sia g: R+ -> R+ una funzione tale che:
g(v*w)=g(v)*g(w);
g(v^q)=(g(v))^q;
per ogni v, w in R+ e q razionale; allora definiamo g una funzione Q-esponenziale.
Si può dimostrare che: data una base esponenziale C di R+ e una permutazione h: C -> C , esiste un'applicazione g: R+ -> R+ esponenziale tale che: g(x)=h(x) per ogni x in C.

C'è dunque una notevole analogia formale fra la struttura di R come Q-spazio vettoriale e quella di R+ come Q-spazio esponenziale. Stabilire se esista un omomorfismo dell'anello R in sè equivale a stabilire la "compatibilità" fra le strutture sopra descritte.

... Spero di non aver vaneggiato troppo!...
PS:Sono disponibile per qualunque chiarimento.
Saluti,


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Messaggioda Woody » 08/08/2005, 20:31

Mi sono posto lo stesso problema riguardo ai numeri complessi. Supponiamo che f: C -> C sia un omomorfismo di anelli. Definisco:
g: C* -> C* tale che: g(y)=log(f(e^y)) per ogni y in C*. Si verifica che:
g(a+b)=g(a)+g(b) per ogni a,b in C*. (1)
Inoltre segue che:
f(e^y)=e^(g(y)) ; sia y=log(x) --> f(x)=e^(g(log(x))). Poichè f è un omomorfismo risulta che:
e^(g(log(a+b))) = e^(g(log(a))) + e^(g(log(b))) per ogni a,b in C*. (2)
Le relazioni (1) e (2) fanno pensare che non siano molte le applicazioni g tali da soddisfarle entrambe; suppongo che siano solo l'identità e il coniugio. Quindi gli unici omomorfismi di anelli di C in C sarebbero solo l'identità e il coniugio.
Saluti,

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