Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
26/08/2005, 16:50
Salve! Vi pongo il seguente quesito sulle estensioni di campi.
Sappiamo che, dato un campo K, c'e' un limite alle estensioni algebriche di K; cioè, se F è la chiusura algebrica di K, allora non esiste alcuna estensione di F algebrica su K. Vale un fatto analogo anche per le estensioni trascendenti? Vale a dire: esiste T estensione di K tale che non esiste un'estensione di T trascendente su K?
Per esempio, esiste un'estensione di R trascendente su Q?
Grazie a tutti coloro che risponderanno senza dubitare della mia sanità mentale. Saluti,
Woody
26/08/2005, 17:50
Non mi ricordo molto, e magari mi smentirai subito, ma C non e' estensione di R trascendente su Q?
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
26/08/2005, 19:04
Hai ragione, è ovvio! ma passando a C: esiste un'estensione di C trascendente su Q? E quanto all'altra domanda: dato un qualsiasi campo K, esiste un'estensione L di K tale che non esiste alcuna estensione di L trascendente su K? Grazie a tutti coloro che interverranno. Saluti,
Woody
27/08/2005, 07:39
Mi sa che il procedimento si itera... se non sbaglio dato un campo K allora K si immerge nel campo delle frazioni di K. Di conseguenza non potra' mai finire una catena di estensioni trascendenti.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
27/08/2005, 10:49
Ma il campo delle frazioni di un campo è il campo stesso!
Woody
27/08/2005, 10:55
mmm... hai ragione. Pero' secondo me c'e' un modo astratto di costruire estensioni; forse basta prendere un polinomio irriducibile a coefficienti in K e considerare il suo campo di spezzamento. Allora questo e' un campo che estende K.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
27/08/2005, 18:55
Una tale estensione è algebrica su K.
Woody
28/08/2005, 16:34
Ho risolto il problema! Sia K un campo. Sia F il campo delle frazioni di K[x]. Allora F è un'estensione di K, ovviamente; poichè x app. a F e x è trascendente su K per il criterio di identità fra polinomi, ne segue che F è un'estensione di K trascendente su K.
Woody
29/08/2005, 07:53
Si, eì vero che il campo di spezzamento e' algebrico su K, ma se K e' trascendente su F, allora tutti i campi di spezzamente che via via costruisci sono trascendenti su F.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
29/08/2005, 09:52
C'è però un limite alla costruzione di campi di spezzamento di polinomi di K[x]: oltre la chiusura algebrica di K non si può andare.
Woody
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