Inverso di un polinomio

Qualcuno sa come si risolve questo esercizio ?

Calcola l'inverso di x in Q(x) / (f) , con f = x(al quadrato) + x + 1

il risultato viene - (x+1) / (f)

Se qualcuno lo sa risolvere inserisca i passaggi intermedi!

Grazie

sai che proprio non ho capito cosa intende?
inanzitutto...cos'è Q(x)??un generico polinomio?

Marvin

Con Q(x) Empty ha indicato l'anello dei polinimi a coeficenti in Q (anche se è più usuale indicarlo con Q[x]).

Trovere l'inverso di un polinomio vuol dire trovere quel polinnomio che moltiplicato per quello dato mi da l'dentità nel campo sonsiderato (in questo caso Q(x)/f che è effettivamente un campo perchè f è irriducibile in Q).
Cioè devi trovare quel polinomio q(x) tale che
x*q(x)-k*f(x)=1 dove k appertiene a Q* (insieme degli elementi invertibili di Q);
In generale è utile usare il teorema bi Bezout, ma in questo caso semplice basta osservare che si può scrivere:
x*q(x)=1+k*f(x) cioè x*q(x)=1+k*x^2+k*x+k ;
Scegliendo k=-1 si ricava:
x*q(x)=-x^2-x da cui si ottiene
q(x)=-(x+1).

Platone

non era decisamente alla mia portata..

Ora non ho le facoltà mentali per studiarmelo
Domani ci proverò
E' facile che vi elenchi ulteriori quesiti ... tenetevi pronti

Vi ringrazio!

Ciao

Ve ne do uno simile
Spiegatemi i passaggi perchè se non lo fate non ci capisco una "mazza"

ES. Calcola l'inverso di x^2 + 5x + 2 in Z7[x] / f , con f = x^3 + 3

Grazie a chi lo risolve.

Prima di fornire la soluzione al problema originario posto da Empty Head direi che prima è opportuno dare qualche definizione. Al pari di quanto avviene nel campo dei numeri interi un generico polinomio p(x) diviso per un polinomio f(x) fornisce un ‘quoziente’ q(x) e un ‘resto’ r(x), ovvero è…

p(x)= q(x)*f(x) + r(x) (1)

Analogamente a quanto avviene per i numeri interi, dalla (1) è possibile definire…

r(x) = p(x) mod [f(x)] (2)

… ossia r(x) è uguale a ‘p(x) modulo f(x)’. E’ possibile dimostrare che l’insieme dei polinomi ‘modulo f(x)’ costituiscono un campo moltiplicativo e f(x) è chiamato ‘polinomio generatore del campo’. Come in tutti i campi moltiplicativi ad ogni elemento del campo [escluso l’elemento nullo ] corrisponde un ‘inverso’ , ossia quell’elemento che moltiplicato per esso fornisce l’elemento ‘unitario’. Nel nostro caso se p(x) è un elemento del campo, il suo inverso i(x) sarà tale per cui…

p(x)*i(x)= 1 mod [f(x)] (3)

Se f(x) è un polinomio di grado n, tutti i polinomi ‘modulo f(x)’ saranno di grado inferiore o uguale a n-1…

Veniamo ora al problema posto da Empty Head. Il polinomio generatore del campo è f(x) = x^2+x+1 e il polinomio di cui si richiede l’inverso è p(x)=x. Indicando il polinomio inverso [di grado unitario in questo caso…] con i(x)= a1x+ao per la (1) si ha…

x*(a1x+ao)/(x^2+x+1) = (a1 x^2+ao x)/(x^2+x+1)=
a1+r(x)/(x^2+x+1) = a1+1/(x^2+x+1) (4)

Operando sulla (4) ed eguagliando i coefficienti dello stesso grado si ottiene il sistema di due equazioni in due incognite…

ao=a1
a1+1=0 (5)

… che risolto fornisce ao=-1 e a1=-1. Il polinomio cercato, l’inverso di x, è dunque i(x) = -x-1. L’altro esempio, quello ‘inventato’ da Empty Head, è un poco più difficile e lo lascio come esercizio per i ‘volonterosi’…

cordiali saluti

lupo grigio

Ho due domande per te Lupo Grigio

a1+r(x)
da dove esce?

e

ao = a1
a1+1= 0
come l' hai ottenuto ?

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Nessuno sa risolvere l'esercizio di prima in Z7(x)?

In effetti sono stato un poco ‘approssimativo’ e di questo chiedo scusa a Empty Head. Proviamo a impostare il problema in termini generali e cioè, definito il polinomio generatore f(x) di grado n e un polinomio p(x) del campo diverso dal polinomio nullo trovare i(x), il polinomio inverso di p(x). Ponendo i(x) nella forma…

i(x) = ao+a1*x+… a(n-1) * x^(n-1) (1)

… il problema si riduce al calcolo delle ai per i=0,1,…,n-1. Ricordando la formula generale per la divisone dei polinomi è …

p(x)*i(x)/f(x) = q(x) + r(x)/f(x) (2)

… dove q(x) è il ‘quoziente’ e r(x) è il ‘resto’. Dal momento che i(x) è il polinomio inverso di p(x) deve essere necessariamente r(x)=1. Si procede dunque nel modo seguente. Dati f(x) e p(x) si scrive il primo termine dell’equazione (2) nella forma…

p(x)*[ao+a1*x+…a(n-1)*x^(n-1)]/f(x) (3)

… e si sviluppa la divisione secondo la regola standard di Ruffini. In tal modo si ottengono i coefficienti di q(x) e r(x) in funzione delle ao,a1,…,a(n-1). Fatto questo si impone che, indicando con ro,r1,…,r(n-1) i coefficienti del polinomio resto soddisfino alla condizione ri= 1 per i=0, =0 per i diverso da 0. In tal modo si ha un sistema di n equazioni in n incognite che, risolto, fornisce le ai. I dettagli del calcolo a questo punto li lascio a voi…

cordiali saluti

lupo grigio

Empty, ma il secondo lo hai davvero inventato tu?
Ad ogni modo, sempre se non ho sbagliato a fare i conti non esiste l'inferso di quel polinomio in Z7[x]/f.

Platone