Inverso di un polinomio

Messaggioda Empty Head » 30/08/2005, 14:24

Qualcuno sa come si risolve questo esercizio ?

Calcola l'inverso di x in Q(x) / (f) , con f = x(al quadrato) + x + 1

il risultato viene - (x+1) / (f)

Se qualcuno lo sa risolvere inserisca i passaggi intermedi!

Grazie
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Messaggioda Marvin » 30/08/2005, 14:34

sai che proprio non ho capito cosa intende?
inanzitutto...cos'è Q(x)??un generico polinomio?

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Messaggioda Platone » 30/08/2005, 15:41

Con Q(x) Empty ha indicato l'anello dei polinimi a coeficenti in Q (anche se è più usuale indicarlo con Q[x]).

Trovere l'inverso di un polinomio vuol dire trovere quel polinnomio che moltiplicato per quello dato mi da l'dentità nel campo sonsiderato (in questo caso Q(x)/f che è effettivamente un campo perchè f è irriducibile in Q).
Cioè devi trovare quel polinomio q(x) tale che
x*q(x)-k*f(x)=1 dove k appertiene a Q* (insieme degli elementi invertibili di Q);
In generale è utile usare il teorema bi Bezout, ma in questo caso semplice basta osservare che si può scrivere:
x*q(x)=1+k*f(x) cioè x*q(x)=1+k*x^2+k*x+k ;
Scegliendo k=-1 si ricava:
x*q(x)=-x^2-x da cui si ottiene
q(x)=-(x+1).

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Messaggioda Marvin » 30/08/2005, 18:10

non era decisamente alla mia portata..
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Messaggioda Empty Head » 30/08/2005, 22:49

Ora non ho le facoltà mentali per studiarmelo
Domani ci proverò
E' facile che vi elenchi ulteriori quesiti ... tenetevi pronti

Vi ringrazio!

Ciao
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Messaggioda Empty Head » 31/08/2005, 10:25

Ve ne do uno simile
Spiegatemi i passaggi perchè se non lo fate non ci capisco una "mazza"

ES. Calcola l'inverso di x^2 + 5x + 2 in Z7[x] / f , con f = x^3 + 3

Grazie a chi lo risolve.
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Messaggioda lupo grigio » 31/08/2005, 11:58

Prima di fornire la soluzione al problema originario posto da Empty Head direi che prima è opportuno dare qualche definizione. Al pari di quanto avviene nel campo dei numeri interi un generico polinomio p(x) diviso per un polinomio f(x) fornisce un ‘quoziente’ q(x) e un ‘resto’ r(x), ovvero è…

p(x)= q(x)*f(x) + r(x) (1)

Analogamente a quanto avviene per i numeri interi, dalla (1) è possibile definire…

r(x) = p(x) mod [f(x)] (2)

… ossia r(x) è uguale a ‘p(x) modulo f(x)’. E’ possibile dimostrare che l’insieme dei polinomi ‘modulo f(x)’ costituiscono un campo moltiplicativo e f(x) è chiamato ‘polinomio generatore del campo’. Come in tutti i campi moltiplicativi ad ogni elemento del campo [escluso l’elemento nullo ] corrisponde un ‘inverso’ , ossia quell’elemento che moltiplicato per esso fornisce l’elemento ‘unitario’. Nel nostro caso se p(x) è un elemento del campo, il suo inverso i(x) sarà tale per cui…

p(x)*i(x)= 1 mod [f(x)] (3)

Se f(x) è un polinomio di grado n, tutti i polinomi ‘modulo f(x)’ saranno di grado inferiore o uguale a n-1…

Veniamo ora al problema posto da Empty Head. Il polinomio generatore del campo è f(x) = x^2+x+1 e il polinomio di cui si richiede l’inverso è p(x)=x. Indicando il polinomio inverso [di grado unitario in questo caso…] con i(x)= a1x+ao per la (1) si ha…

x*(a1x+ao)/(x^2+x+1) = (a1 x^2+ao x)/(x^2+x+1)=
a1+r(x)/(x^2+x+1) = a1+1/(x^2+x+1) (4)

Operando sulla (4) ed eguagliando i coefficienti dello stesso grado si ottiene il sistema di due equazioni in due incognite…

ao=a1
a1+1=0 (5)

… che risolto fornisce ao=-1 e a1=-1. Il polinomio cercato, l’inverso di x, è dunque i(x) = -x-1. L’altro esempio, quello ‘inventato’ da Empty Head, è un poco più difficile e lo lascio come esercizio per i ‘volonterosi’…

cordiali saluti

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Messaggioda Empty Head » 31/08/2005, 13:58

Ho due domande per te Lupo Grigio

a1+r(x)
da dove esce?

e

ao = a1
a1+1= 0
come l' hai ottenuto ?

-------------------------------------------------

Nessuno sa risolvere l'esercizio di prima in Z7(x)?
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Messaggioda lupo grigio » 31/08/2005, 14:32

In effetti sono stato un poco ‘approssimativo’ e di questo chiedo scusa a Empty Head. Proviamo a impostare il problema in termini generali e cioè, definito il polinomio generatore f(x) di grado n e un polinomio p(x) del campo diverso dal polinomio nullo trovare i(x), il polinomio inverso di p(x). Ponendo i(x) nella forma…

i(x) = ao+a1*x+… a(n-1) * x^(n-1) (1)

… il problema si riduce al calcolo delle ai per i=0,1,…,n-1. Ricordando la formula generale per la divisone dei polinomi è …

p(x)*i(x)/f(x) = q(x) + r(x)/f(x) (2)

… dove q(x) è il ‘quoziente’ e r(x) è il ‘resto’. Dal momento che i(x) è il polinomio inverso di p(x) deve essere necessariamente r(x)=1. Si procede dunque nel modo seguente. Dati f(x) e p(x) si scrive il primo termine dell’equazione (2) nella forma…

p(x)*[ao+a1*x+…a(n-1)*x^(n-1)]/f(x) (3)

… e si sviluppa la divisione secondo la regola standard di Ruffini. In tal modo si ottengono i coefficienti di q(x) e r(x) in funzione delle ao,a1,…,a(n-1). Fatto questo si impone che, indicando con ro,r1,…,r(n-1) i coefficienti del polinomio resto soddisfino alla condizione ri= 1 per i=0, =0 per i diverso da 0. In tal modo si ha un sistema di n equazioni in n incognite che, risolto, fornisce le ai. I dettagli del calcolo a questo punto li lascio a voi…

cordiali saluti

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Messaggioda Platone » 31/08/2005, 15:11

Empty, ma il secondo lo hai davvero inventato tu?
Ad ogni modo, sempre se non ho sbagliato a fare i conti non esiste l'inferso di quel polinomio in Z7[x]/f.

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