Esercizi di Algebra

Messaggioda Empty Head » 06/09/2005, 14:37

X chi ha un po' di tempo ho inserito 20 esercizi di Algebra

Chiunque sappia risolvere qualcosa invii la dimostrazione al mio indirizzo e-mail o la inserisca nel topic


Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false e fornire dimostrazione
(mi raccomando la dimostrazione!!!)


1) Z3[X] ha caratteristica finita

2) R \ {0} è un ordine denso

3) esiste un sottogruppo di S5 che ha cardinalità 7

4) {a + (radice quadrata di 7 * b) : a,b € Z} è un gruppo rispetto alla somma "€ = appartenenza"

5) C\R è chiuso per passaggio all'inverso additivo

6) Z3 * Z3 e Z9 sono isomorfi come gruppi

7) C\R è chiuso rispetto al prodotto

8) ogni sottogruppo di C* è normale

9) (Q* , * , ^-1 , 1) è un sottogruppo di (Q , + , - , 0)

10) esiste un campo di caratteristica 25

11) l'insieme di matrici n*n invertibili ad elementi in Z23 è chiuso per somma

12) {a - ((radice quadrata di 37) * b) : a,b € Z} è chiuso per prodotto "€ = appartenenza"

13) R\Q è chiuso per somma

14) ogni gruppo di ordine 23 è ciclico


esercizi :


15) completa la formula (cos(a) + i sen (a))^5 = ?

16) sia Y:a--->B un omomorfismo fra domini di integrità , e sia C={a € A : Y(a) = 0}
1) dimostrare che C è chiuso per somma
2) dimostrare che se a € C e a|b , allora b € C

17) elencare gli elementi di {z € C : z^4 = -i} "€ = appartenenza"

18) sia T={A € Mat n*n (R) : |A| diverso da 0}
l'insieme T forma un gruppo rispetto al prodotto di matrici ?

19) siano U , V , W spazi vettoriali sul campo F e siano A:U-->V e B:V-->W applicazioni lineari
dimostrare che B°A:U-->W è una applicazione lineare "°= operazione binaria associativa"

20) sia G un gruppo , e sia C = {g € G : per ogni h € G gh=hg}
dimostrare che C è un sottogruppo di G
è un sottogruppo normale?
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Messaggioda Teano » 06/09/2005, 16:42

Intanto rispondo a quelle che mi sembrano più immediate, alle altre ci devo pensare ancora un po':

3) No perché 7 non divide 120 che è l'ordine di s5.
6) No perché il massimo ordine di un elemento in Z3xZ3 è 3 mentre in Z9 ho almeno un generatore di ordine 9.
7) Non l'ho capita...
8)Chiaramente si perché il gruppo è abeliano.
9) No perché per essere un sgr. quantomeno dovrebbe avere la stessa operazione...
10) Se mi ricordo bene che cos'è la caratteristica di un campo direi di no, mi sembra di ricordare che possa essere solo 0 o un primo e 25 non è primo
11) Direi che essendo Z23 un campo si tratta di matrici a coefficienti in un campo, con la somma componente per componente non succede nulla di strano ogni elemento della matrice sta ancora in Z23
14)Si perché 23 è primo. Un gruppo ha ordine p primo sse è ciclico di ordine p.



Comunque userò maggior rigore in futuro...
Teano
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Messaggioda Woody » 06/09/2005, 19:04

1)char(Z3[x])=3 ;
4) e 12) In generale, se q è un intero libero da quadrati, si dimostra facilmente che:
Z[sqrt(q)]=insieme dei a+b*sqrt(q) in R tali che a,b sono interi
è un sottoanello di R, perchè è l'immagine del morfismo di valutazione:
E: Z[x] -> R tale che: E(f)=f(q) per ogni f in Z[x].
16)Tutto segue dal fatto che C=ker(Y) è un ideale di A.
Saluti,

Woody
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Messaggioda Empty Head » 07/09/2005, 11:24

Teano la risoluzione 11 è errata perchè l'affermazione è falsa
Per quanto riguarda la 14 , basta che l'ordine sia primo ?

Di quello che ha scritto Woody ho capito ben poco , cercate di mettermi le dimostrazioni allegate alla teoria.

Ciao
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Messaggioda Teano » 07/09/2005, 21:14

Si per la 14 basta che l'ordine sia primo. Infatti tutti i gruppi di ordine un primo sono isomorfi a Z_p.

Comunque per la 11 hai ragione, sono chiuse rispetto al prodotto dato che Z_23 è un campo, invece non sono chiuse rispetto alla somma perché:
A è invertibile sse det(A) diverso da 0
in particolare la matrice identità, id, è invertibile, ma sommandola a se stessa 23 volte (o forse 22...) si ottiene la matrice nulla che non è invertibile.
Teano
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Messaggioda Empty Head » 08/09/2005, 16:12

Fate gli altri se avete tempo!
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