Sottogruppi

Messaggioda Empty Head » 14/09/2005, 14:46

CERCO AIUTO ! QUALCUNO SA FARE QUESTI ESERCIZI?

1) Quanti e quali sono i sottogruppi di S3?

2) Sia a=(1 2) € S4. Qual'è la cardinalità dell'insieme {b € S4 : a*b = b*a}

3) Sia a=(2 4) € S5. Sia H il sottogruppo di S5 i cui elementi sono tutte le permutazioni che lasciano fisso l'elemento 1. Quante permutazioni ci sono nel laterale a*H?
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Messaggioda Valerio Capraro » 15/09/2005, 20:04

1) S3 HA SEI ELEMENTI; QUINDI I SGR HANNO 1,2,3 ELEMENTI; SI HANNO QUINDI TUTTI SGR CICLICI CHE è PIUTTOSTO FACILE ELENCARE

2) L'INSIEME DEFINITO CHIAMASI ANCHE "CENTRALIZZANTE" DI A; è UN SGR DI S4 CHIARAMENTE NON COINCIDENTE CON S4; QUINDI ESSO HA AL PIù 12 ELEMENTI... CON QUESTO LIMITE SUPERIORE CONVIENE ORA FARE QUALCHE PROVA

3) H è IN BIIEZIONE CON S4 CHE HA 24 ELEMENTI; PERTANTO OGNI LATERALE HA ANCH'ESSO 24 ELEMENTI.

CIAO, UBERMENSCH
Valerio Capraro
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Messaggioda Empty Head » 15/09/2005, 23:17

Grazie per l'aiuto ma datemi una soluzione con passaggi allegata a un po' di teoria.
In caso contrario non capisco una mazza
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Messaggioda Valerio Capraro » 16/09/2005, 02:34

PARTE 1)

- S3 è l'insieme delle permutazioni su 3 elementi dotato della operazione di composizione (si effettua prima una permutazione poi l'altra) rispetto alla quale è un gruppo non commutativo

-si dimostra in generale che il gruppo Sn delle permutazioni di n elementi ha n! elementi; quindi S3 ha 3!=6 elementi

-dal teorema di Lagrange si ha che ogni sottogruppo di un gruppo ha ordine (numero di elementi) che divide l'ordine del gruppo di partenza (trall'altro questo teorema si vede in maniera ovvia qualora si pensi alla teoria dei laterali). é giustificata, quindi, la prima asserzione.

- si dimostra che i gruppi di ordine 1,2 e 3 sono ciclici, ovvero che hanno un elemento che li genera, ovvero che esiste un elemento che moltiplicato ripetutamente per se stesso dà tutti gli elementi del gruppo

- elencando tutti questi sottogruppi (si prende ad uno ad uno ogni elemento e se ne fa il ciclico da esso generato e si escludono eventuali doppioni), si ha:
{(1)}, {(1),(12)}, {(1),(13)}, {(1),(23)}, {(1),(23)}, {(1),(123)}
che sono sei.

il resto... a qualcun altro

ciao, ubermensch
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Messaggioda Empty Head » 16/09/2005, 14:00

Grazie ora è più chiaro.
Se riesci prima di martedì a risolvermi anche gli altri 2 mi fai un gran piacere.

Aspetto tue notizie

Ti ringrazio

ciao
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Messaggioda Valerio Capraro » 17/09/2005, 16:51

SECONDO ESERCIZIO

-puoi verificare da solo che l'insieme definito è un sottogruppo di quello di partenza, che prende il nome di centralizzante dell'elemento a; sempre dal teorema di lagrange si deduce che esso ha cardinalità che divide 24 (essendo 24=4! l'ordine di S4); i divisori di S4 sono 1,2,3,4,6,8,12,24; occorre escludere 1 banalmente e 24 perchè altrimenti il centralizzante C(a) dell'elemento a coinciderebbe con S4, ma S4 non è commutativo, mentre lo è C(a) per definizione. Ora, ricordando che coppie di trasposizioni (cicli di due elementi) disgiunte (che non permutano lo stesso elemento) commutano ne segue che anche (34) appartiene a C(a), e quindi anche (12)(34). Si verifica ora con un po di conti che nessun altro elemento di S4 commuta con (12), ne segue che C(a)={(1),(12),(34),(12)(34)}, in cui ci si riconosce il gruppo di klein.

ciao, ubermensch
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Messaggioda Valerio Capraro » 17/09/2005, 16:56

TERZO ESERCIZIO

è evidente che H corrisponde biunivocamente ad S4, in quanto H contiene tutte le permutazioni degli elementi 2,3,4,5 mentre S4 contiene tutte le permutazioni degli elementi 1,2,3,4 e sono la stessa cosa a meno di un cambio di nomi; quindi H ha 24 elementi. Ora, si dimostra facilmente che |a*H| = |b*H| per ogni scelta di a,b in un gruppo G e per ogni sottogruppo H di G; in particolare siu avrà quindi |a*H| = |(1)*H| = 24

spero che così siano abbastanza chiari

ciao, ubermensch
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