Un mondo ancora poco esplorato...

Messaggioda lupo grigio » 20/09/2005, 09:42

cari amici
ho sempre pensato che vi sia un ramo della matematica relativamente ‘inesplorato’ che magari può celare diversi ‘segreti’ e che vale la pena di esplorare. Per introdurre il discorso proporrò a tutti voi un quesito relativamente ‘facile’: trovare il limite della successione il cui termine generale è…

an= 2/3*4/5*6/7*…*2n/(2n+1) (1)

cordiali saluti

lupo grigio

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lupo grigio
 

Messaggioda Pachito » 20/09/2005, 10:52

an= 2/3*4/5*6/7*…*2n/(2n+1)

an= 2*n!/ [(2n+1)!/2*n!]= 4*n!*n!/(2n+1)!

Applicando Stirling si vede come la successione converga a 0.
Pachito
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Messaggioda lupo grigio » 20/09/2005, 12:10

La soluzione di Pachito, ottenuta applicando la formula di Stirling, è ovviamente esatta. Per i pochi che non lo sanno o non lo ricordano, la formula di Stirling fornisce un valore ‘approssimato’ di n! quando n è ‘grande’…

n! =/ sqrt (2*pi*n) * n^n* e^-n (1)

Tuttavia non era necessario scomodare il signor Stirling e alla stessa conclusione si poteva giungere in un modo più semplice, anche se più lungo. Innanzi tutto introduciamo la notazione di ‘produttoria’ nel modo seguente…

pn= 2/3*4/5*…*2n/(2n+1) = P [i=1,n] 2i/(2i+1) (2)

Essa è del tutto analoga alla ‘sommatoria’, solo che al posto della somma si esegue il prodotto. Il limite per n-> oo delle an diviene…

lim n->oo pn = P [i=1, +oo] ai (3)

… ed è chiamato ‘prodotto infinito’ o più semplicemente prodotto. Analogamente alle serie, per il prodotto infinito valgono le definizioni di prodotto ‘convergente’, ‘divergente’ o ‘indeterminato’. Nell’ipotesi che nella (3) le ai siano <i>tutte positive</i> è possibile trattare un prodotto trattando la serie equivalente. Vale infatti la relazione…

P[i=0,+oo] ai = e^ Sum [i=0,+oo] ln (ai) (4)

Il comportamento della serie determina univocamente il comportamento del prodotto purchè si usi un poco di cautela. In particolare si dimostra facilmente che…

a)se la serie è convergente il prodotto è anch’esso convergente
b)se la serie è indeterminata il prodotto è anch’esso indeterminato

Che succede però se la serie è divergente?... Vi sono due casi...

c)se la serie diverge in senso positivo [cioè la somma tende a +oo per i -> +oo] il prodotto è divergente
d)se la serie diverge in senso negativo [cioè la somma tende a –oo per i -> +oo] il prodotto è convergente e vale 0

Tornando quindi alla nostra espressione P[i=1,+oo] 2i/(2i+1) ad esso corrisponde la serie…

Sum [i=1,+oo] ln [2i/(2i+1)] (5)

Notiamo subito che la (5) è una serie a termini negativi, per cui possiamo studiare la corrispondente a termini positivi data da…

Sum [i=1,+oo] ln [(2i+1)/2i] = Sum [i=1,+oo] ln (1+1/2i) (6)

Per determinare l’andamento della (6) ricordiamo il limite fondamentale…

lim i-> +oo (1+1/2i)^2i = e (7)

… dal quale otteniamo…

lim i -> +oo 2i*ln (1+1/2i) = 1 (8)

Da questa si ottiene che…

lim i-> +oo 3i*ln (1+1/2i) = 1.5 > 1 (9)

Dalla (9) si verifica senza difficoltà che, a partire da un certo valore di i, risulta…

ln (1+1/2i) > 1/3i (10)

Dal momento che la serie che ha per temine generale 1/3i diverge in senso positivo la stessa cosa vale per la serie (6), per cui la (5) diverge in senso negativo. Per quanto prima affermato possiamo dunque concludere che il prodotto dato dalla (2) tende a 0 per i-> +oo. Certo l’applicazione della formula di Stirling conduce più rapidamente al risultato, ma non era questo lo scopo che mi prefiggevo di ottenere, quanto illustrare un modo di affrontare il calcolo di un prodotto infinito, sul quale conto di tornare presto con altri esempi…

cordiali saluti

lupo grigio

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Messaggioda david_e » 20/09/2005, 13:28

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