Esercizi su relazioni di equivalenza

[Key4625]

Ora mi è più chiaro... Proverò a fare altri esercizi del genere, vi terrò aggiornati! XD Grazie della disponibilità!

[Key4625]

Ve ne pongo un altro...

Stabilire se le seguenti relazioni su $ N\{0,1} $ sono relazioni di equivalenza:
a) $ xRy $ se e solo se x e y sono primi tra loro;
b) $ xRy $se e solo se per ogni primo p si ha che $ p|x $ <-> $ p|y $

a) Per quanto riguarda il primo caso, il mio ragionamento è stato questo:
Due numeri si dicono primi tra loro se il loro M.C.D. è 1.
Quindi:
Proprietà riflessiva: $ xRx \Rightarrow M.C.D.(x,x) $ (ma il MCD di un numero e di se
stesso è sempre uno?)
Proprietà simmettrica: $ xRy \Rightarrow yRx $
direi di si in quanto M.C.D.(x,y) = M.C.D.(y,x)
Proprietà transitiva: $ xRy \wedge yRz \Rightarrow xRz $ direi di sì in quanto proprietà del MCD

A me in conclusione, ammessa l'ipotesi fatta per la proprietà riflessiva, sembra che questa sia una relazione di equivalenza...

b) Ci stò ancora pensando.... se tiro fuori qualcosa scrivo...

[Lord K]

a) Per quanto riguarda il primo caso, il mio ragionamento è stato questo:
Due numeri si dicono primi tra loro se il loro M.C.D. è 1.
Quindi:
Proprietà riflessiva: $ xRx \Rightarrow M.C.D.(x,x) $ (ma il MCD di un numero e di se
stesso è sempre uno?)

No! Invece \( \displaystyle mcd(x,x) = x \) visto che è il numero più grande che divide entrambi! Il tutto si poteva vedere subito anche dal fatto che un numero non è primo con se stesso. Quindi non è una relazione di equivalenza!

[Angelo]

Propongo un ulteriore esercizio:

Dopo aver dimostrato che la relazione b) è di equivalenza, determinare le sue classi di equivalenza e il suo insieme quoziente. Inoltre dimostrare che tale insieme quoziente è numerabile.

[a.laterra]

Transitività: \( \displaystyle xRy \wedge yRz \Rightarrow xRz \) ma \( \displaystyle xy>0 \wedge yz>0 \Rightarrow (xy)(yz)>0 \Rightarrow xy^2z>0 \Rightarrow [\text{per riflessività}]\Rightarrow xz>0 \) .

scusatemi ma non riesco a capire la dimostrazione di transitività quando dici [per riflessività] cosa intendi?

[algibro]

Magari sarà noiosa ma la dimostrazione della transitività io la imposterei così.
Per ogni $x,y \in RR - {0}$ se $xy>0$ abbiamo che $x$ e $y$ sono entrambi positivi ovvero entrambi negativi.
Quindi se $x$ e $y$ sono positivi deve esserlo anche $z$ poiché $yz>0$, e quindi $xz>0$. Specularmente se $x$ e $y$ sono negativi deve esserlo anche $z$, sempre perché $yz>0$, e di nuovo $xz>0$$ z$.
Per riflessività non so cosa intendesse in effetti.

[a.laterra]

io sinceramente ho capito i passaggi che ha fatto Lord K eccetto quello dove ha scritto per riflessività, o meglio come riesce ad eliminare $y^2$