Divisione di polinomi

Messaggioda xxalenicxx » 22/09/2005, 20:20

Ho un problema da proporre:

Sia P(x) un polinomio, dimostrare che: [P(P(x))-x] è sempre divisibile per [P(x)-x]. O ancora più in generale:

[P(P(P(...P(x)))..))) - x] è sempre divisibile per [P(x) - x]
xxalenicxx
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Messaggioda Platone » 22/09/2005, 22:28

E' sempre divisibile dove?

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Messaggioda leev » 23/09/2005, 10:35

Ciao, la prima parte l'ho dovuta pure fare io quest anno ad a.lineare II
Allora:

Abbiamo che P(P(x))-x= P(P(x)) - P(x) + P(x) - x

Ora definisco A:= P(P(x)) - P(x) e B:= P(x) - x

e riscrivo A come polinomio, cioe come sommatoria
A=SOMMA(k=0->n) {ak * P(x)^k} - SOMMA(k=0->n) {ak * x^k}
=SOMMA(k=1->n) {ak * (P(x)^k - x^k)
=SOMMA(k=0->n) {ak * (P(x) - x) * Q(x)}
=(P(x)-x) * SOMMA(k=0->n) {ak * Q(x)}

dove Q(x) = SOMMA(k=0->n-1) {P(x)^(n-1-k) * x^k}

=> <u>A = (P(x) - x) * M(x)</u> con M(x) = SOMMA(k=0->n) {ak * Q(x)}

Quindi (P(x) - x) divide A (ed evidentemente (P(x) - x) divide B)

Allora P(x) - x divide A+B= P(P(x)) - x.

Penso che la seconda parte sia molto ricorsiva rispetto a questo...

Ciauu

L.L
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Messaggioda Rael » 24/09/2005, 19:59

Allora, il problema originario a cui xxalenicxx si è ispirato credo sia :

sia P^n(x) = P(P(P(...P(x)))) n volte

P^n(x) - x
------------ = Q(x), Q(x) polinomio <=> k|n (k divide n)
P^k(x) - x
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