Algebra.... folle

da **Valerio Capraro** » 19/10/2005, 17:31

posto una serie di esercizi (su alcuni dei quali sto ancora riflettendo).. magari qualche folle vuole condividere il mal di testa...

1) determinare gli automorfismi di R

2) sia F il campo di spezzamento di x^3 - 2 su Q. Determinare il gruppo di Galois di F su Q

3) per ogni naturale n determinare il gruppo di Galois di F(p^n) su F(p); dove si indica con F(p^k) il campo finito di ordine p^k.

4) dimostrare che per ogni estensione algebrica di un campo di caratteristica 0, il polinomio minimo di un generico elemento di tale estensione non ha radici multiple.

5) sia F una famiglia di polinomi non costanti a coefficienti in un campo E. Dimostrare che esiste unico a meno di isomorfismi il campo di spezzamento di F su E (questo è facile per famiglie finite... ma per famiglie infinite???!!!)

bah... mi complimento innanzitutto per chi ha letto fin qua!!

ciao, ubermensch

da **Luca.Lussardi** » 20/10/2005, 08:08

Per la 1) devi specificare che automorfismi intendi.

Per la 2) e' standard.... trova le radici, estendi Q con esse.... insomma dovrebbe essere facile.

Per la 3) se non ricordo male F(p^n) dovrebbe essere il campo di spezzamento di x^(p^n)-x su F_p (??)....

Per la 4) bisogna pensarci

Per la 5) non so cosa intendi per campo di spezzamento di una famiglia di polinomi...

Luca Lussardi
http://www.lussardi.tk

da **Valerio Capraro** » 20/10/2005, 16:40

1) automorfismi di campi
2) se si fa col metodo standard vengono dei conti folli; stavo cercando una strada alternativa.
3) ricordi bene
4) bisogna pensarci... e tanto anche!
5) il più "piccolo" campo in cui si spezzano in fattori lineari tutti i polinomi della famiglia

ciao, ubermensch

da **Luca.Lussardi** » 20/10/2005, 17:09

Non vorrei dire assurdita', ma un campo non ha solo l'automorfismo banale? Non avendo ideali propri....

Luca Lussardi
http://www.lussardi.tk

da **Valerio Capraro** » 20/10/2005, 20:30

non mi convince tanto Luca... Su F(p^k) mi sembra siano definiti gli automorfismi di Frobenius... domani controllo

da **Valerio Capraro** » 20/10/2005, 20:40

avevo ragione:

http://www.dm.uniba.it/~barile/Rete/lezione24.htm osservazione 24.10

più che altro mi dirai che tali autorfismi sono definiti su campi di caratteristica p, mentre R ha caratteristica 0... boh!!

da **Luca.Lussardi** » 21/10/2005, 08:07

No, hai ragione, un campo non ha omomorfismi non banali. Infatti ha solo automorfismi, ho scambiato le due cose... trovarli pero'.... Come osservazione io l'ho gia' sentita comunque, e mi pare di ricordare che fosse una cosa semplice, insomma un isomorfismo da R in R e' un'appliaczione lineare iniettiva e suriettiva... non e' che vengono tutte le rette y=mx? o magari solo alcune di queste, viste le altre proprieta' degli isomorfismi di campi...

Luca Lussardi
http://www.lussardi.tk

da **Valerio Capraro** » 21/10/2005, 16:31

infatti anche io stavo pensando ad una cosa del genere... d'altra parte però non sembra neanche facilissimo dimostrare che sono solo quelle..

da **Luca.Lussardi** » 21/10/2005, 16:37

Beh, un'applicazione lineare da R in R deve aver la forma y=mx, non puo' avarne altre...

Luca Lussardi
http://www.lussardi.tk

da **Valerio Capraro** » 24/10/2005, 22:51

un pò in ritardo... l'applicazione y=mx non conserva l'unità e quindi non è un automorfismo di campi. Sembra proprio che l'unico automorfismo di campi a caratteristica 0 sia quello identico..

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