Algebra: campi intermedi.

[Ranze]

L'esercizio che mi fa impazzire (uno dei tanti), si presenta così: trovare tutti i campi intermedi tra R e C...ma che cosa sono i campi intermedi? E come si trovano?

[Platone]

I campi intermedi sono i tutti i campi che contengono R e che sono contenuti in C.
Per sapere come si trovano e' meglio che aspetti qualcunaltro: sono molto arrugginito su queste cose cosi' specifiche...

Platone

[Woody]

Penso che i campi intermedi fra R e C siano solo R e C. Infatti, supponiamo che F sia un campo intermedio fra R e C. Segue:

1)R c F c C --> [F:R]=1 o [F:R]=2. Nel 1° caso F è isomorfo, come R-spazio vettoriale, a R stesso, nel 2° caso F è isomorfo a C;

2)Notiamo che l'unità di R appartiene a F. Dunque:
[F:R] = 1 --> F = <1> --> F = R.
[F:R] = 2 --> F = <1,b> per qualche b in F.

3)Supponiamo F=<1,b>. Consideriamo il seguente morfismo di valutazione:
E : R[x] --> F tale che: E(f) = f(b) per ogni f in R[x].
Notiamo che E è suriettivo, perchè: per ogni s in F --> esistono a1, a2 in R t.c.: s = a1*1 + a2*b --> s = E(a1+a2*x) . Per il 1° teorema di omomorfismo tra anelli: F=Im(E) isomorfo a R[x]/ker(E) .
poichè R è un campo, risulta che ker(E) è un ideale principale di R[x]; e poichè R[x]/ker(E) è un campo, deve essere: ker(E)=(f0) per qualche f0 polinomio irriducibile in R[x]. Sappiamo dal teorema fondamentale dell'algebra che gli unici polinomi irriducibili di R[x] hanno grado <= 2; dunque: f0 = a*x^2+b*x+c . Poichè abbiamo supposto che [F:R]=2, segue che deg(f0)=2; dunque f0 si fattorizza in modo unico come:
f0=a*(x-x1)*(x-x2) dove x1, x2 sono le radici complesse di f0. ne segue che: b radice di f --> b=x1 o b=x2 --> F = <1,b> c C ; ma poichè [C:R]=2=[F:R], segue che: F = C.

PS: Se qualcosa ti sfugge nei ragionamenti sopra esposti, chiedi pure.

Saluti,

Woody

[Valerio Capraro]

senza nulla togliere al rigore di Woody, bastava osservare che C = R[i] e tale estensione ha grado 2... valla a trovare una intermedia!