Regola Cartesio

[rocco.g]

Ciao!
Qualcuno potrebbe spiegarmi la regola di cartesio?
Praticamente per studiare la BIBO stabilità del sistema mi serve capire quando la funzione differenziale i cui coefficienti sono parametri reali assume radici a parte reale minore di zero.

Esempio data una eq. differenziale con omogenea associata:


(1-a^2)S^2 + aS + (a +1/100) =0

come devo imporre le condizioni su a?


Grazie!

[lupo grigio]

Il criterio generale di stabilità impone che tutte le radici dell'equazione caratteristica abbiano parte reale negativa. In questo caso l'equazione è di secondo grado del tipo...

a2*s^2+a1*s+ao=0 (1)

... con a2= 1-a^2, a1= a e ao= a+1/100...

Per una equazione di secondo grado con determinante >0 Cartesio a suo tempo ha stabilito che le due radici erano entrambe negative se i termini a2,a1 e ao sono dello stesso segno. Se il determinante invece è <0 è immediato vedere che le due radici hanno la stessa parte reale negativa se a2 e a1 hanno lo stesso segno...

cordiali saluti

lupo grigio

[rocco.g]

quindi le condizioni da imporre sarebbero:

quindi le condizioni ha imporre quali sono?

il prof. imponeva i termini prima tutti maggiori di zero e poi tutti minori...
ma a me sembra una cosa assurda! cioè che senso ha?
secondo me ho copiato male io... dato che ero arrivato tardi...

[lupo grigio]

Dato in generale un polinomio in s di grado n...

D(s) = Sum [i=0,n] ai * s^i (1)

... siccome per ipotesi an è diverso da 0, è sempre possibile scriverlo come ...

D(s) = an * Sum [i=0,n] ai/an * s^i (2)

Pertanto si può considerare an come un semplice coefficiente moltiplicativo e in tal caso l'equazione caratteristica diviene...

Sum [i=0,n] ci * s^i = 0 (3)

... in cui è cn=1 e ci=ai/an...

Nel caso da te segnalato la condizione an diversa da zero si traduce in a^2<1 e a^2>1...

Consideriamo da prima il caso a^2<1. In tal caso an è >0 e quindi anche gli altri termini devono essere positivi. La condizione di stabilità è pertanto 0<a<1...

Consideriamno poi il caso a^2>1. Qui è an<0 e quindi anche gli altri termini devono essere negativi. La condizione di stabilità diviene pertanto a<-1...

cordiali saluti

lupo grigio

[rocco.g]

Vediamo un pò se ho capito:

ho questa eq: s^2 +(1+a)s - B*a (dove B = pigreco elevato al quadrato)

il termine di grado 2 ha coefficienti 1 che è sempre positivo, quindi i coefficienti non potranno essere tutti negativi. Vediamo quando questi sono tutti positivi:

1+a>0 & -a >0 che porta al sistema:
a>-1 e a<0 da cui facendo il sistema risulta -1<a<0

Quest'altra:
(1-a^2)s^2 + as + (a+1/100)

Vediamo quando i coefficienti sono tutti positivi:
1-a^2 > 0 -> -1<a<1 cioè per valori interni
a>0
a> -1/100

facendo il sistema (non con il prodotto dei segni, vero?) ottengo che 0<a<1
Ora vediamo quando sono tutti negativi:
(1-a^2)<0 per valori esterni, quindi a>1 e a<-1
a<0
a<-1/100
da cui con il sistema ottengo a<-1

è corretto il ragionamento?

[lupo grigio]

Sì, il ragionamento è corretto...

In generale nell'equazione caratteristica la possiamo sempre porre =1 il coefficiente del termine di grado n. In tal caso possiamo scrivere...

D(s)= (s-s1)*(s-s2)*...*(s-sn) (1)

... ove le si [i=1,2,...,n] sono le radici del polinomio stesso, vale a dire i valori di s per cui è D(s)=0. Se tutte le radici di D(s) hanno parte reale negativa è evidente che lo sviluppo (1) conterrà solo termini del tipo (s+a) [se -a è una radice reale...] o del tipo (s^2+2*u+ u^2+v^2) [se -u+j*v è una radice complessa...]. Sviluppando il prodotto è immediato vedere che i coefficienti di D(s) sono in tal caso tutti positivi...

cordiali saluti

lupo grigio

[rocco.g]

ok, grazie!!!