Radice quadrata di un numero primo

[gauss86]

Oggi durante la lezione di analisi osservando qualche numero irrazionale mi è venuto un dubbio? E' vero che la radice quadrata di qualsiasi numero primo è uguale ad un numero irrazionale? Secondo me è giusto ma non hotrovato niente di simile né su internet né sui miei libri di matematica, vorrei provare quindi a dimostrarlo con voi.

[Giusepperoma]

domanda strana se fatta da Gauss...

Comunque si, e' vero. Se un numero e' primo la sua radice quadrata e' irrazionale!

Per quanto riguarda la dimostrazione, e' abbastanza facile.

Hai presente la dim dell'irrazionalita' di radice di 2?

Ripeti la stessa dimostrazione con p al posto di 2!!! (p sta per numero primo, ovviamente!)

Sono anche convinto che il risultato si possa generalizzare

"Se un numero non e' un quadrato perfetto, allora la sua radice quadrata e' irrazionale"

purtroppo la dimostrazione non mi entra in questo spazio.

Ciao, Giiuseppe

[fireball]

Sì, anche io avevo proprio pensato a qualcosa di analogo alla dimostrazione dell'irrazionalità di sqrt(2).

[Valerio Capraro]

è sicuramente vero che la radice quadrata di un intero è razionale se e soltanto se l'intero in questione è un quadrato perfetto. Una cosa simile per i logaritmi. Per quanto riguarda la dim credo si possa facilmente generalizzare quella di irrazionalità di sqrt(p)

ciao,ubermensch

[ciclico]

Sono irrazionali tutte le radici n-esime degli interi che non sono n-esime potenze perfette;

cioé sono irrazionali la radice quadrata di 2 e di tutti gli interi maggiori di 2 e non quadrati perfetti

cioé sono irrazionali la radice cubica di 2 e di tutti gli interi maggiori di 2 e non cubi perfetti.... e così via