numeri primi

da **Nidhogg** » 04/06/2004, 21:12

La dimostrazione del problema posto da Karl:
Si esegue una scomposizione in fattori primi per trovare appunto i divisori dei numeri 2^m e 2^(m+1)-1, che sono:

1, 2^1, 2^2, 2^3, ..., 2^m;
2^(m+1)-1, 2^1 (2^(m+1)-1), 2^2 (2^(m+1)-1), ..., 2^m (2^(m+1)-1)

La somma di questi numeri (escluso l'ultimo), è pertanto:

S(m) + S(m-1)(2^(m+1)-1)

Dove S(m) è una progressione geometrica di ragione 2 fino a 2^m. Poiché S(m) = 2^(m+1)-1, la somma diventa:

2^(m+1) - 1 + (2^m - 1)(2^(m+1) - 1) =
= (1 + 2^m - 1)(2^(m+1) - 1) =
= 2^m (2^(m+1) - 1)

Che è proprio il nostro numero, che risulta pertanto essere un numero perfetto.

da **karl** » 04/06/2004, 22:38

Ottima risposta:coincide con quella che avevo
in mente io.
A risentirci per qualche altro interessante
(almeno spero) quesito di Aritmetica.
karl.

da **eafkuor** » 05/06/2004, 10:41

scusate se mi intrometto, ma a cosa serve trovare numeri primi cosi' grandi?

da **Cygni_61** » 05/06/2004, 12:52

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scusate se mi intrometto, ma a cosa serve trovare numeri primi cosi' grandi?

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Le risposte sono molteplici...

Matematicamente, sui numeri primi si basa un largo settore della crittografia.

Informaticamente, la ricerca di numeri primi coopera nello sviluppo di nuovi algoritmi di calcolo piu' efficienti.

Tecnologicamente, un programma di calcolo profondamente ottimizazto e scritto in assembler puo' giunger a "stressare" processore e memoria al 99,6% della propria capacita', innalzando le temperature d'uso. Non a caso il programma principe in questo settore, Prime95 di george Woltman, viene utilizzato da Intel come banco di prova per i propri processori.

Se si aspira alla fama, lo scopritore di un numero primo di tale grandezza prenota il proprio posto nella storia della Teoria dei Numeri.

Se si desidera "pubblicare" qualcosa, la pagina dei numeri primi di Chris Caldwell ha una classifica dei 5.000 maggiori numeri primi noti, con i nomi di coloro che li hann oscoperti.

C'e' lo "spirito di gara": per quale motivo si tenta di abbassare il record dei 100 metri piani, del salto in alto, ma anche altri che meno hanno a che fare con il corpo umano a livello di particelle elementari, di temeprature assolute, di velocita' massima?

Infine, c'e' la risposta creativa: l'unicita' di tali "individui", enormi e divisibili solo per uno e per se' stessi, li rente "belli" quanto una perla o un diamante...

Luigi

da **Valerio Capraro** » 05/06/2004, 15:27

concordo sulle motivazioni espresse da Cygni, in particolare su:

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c'e' la risposta creativa: l'unicita' di tali "individui", enormi e divisibili solo per uno e per se' stessi, li rente "belli" quanto una perla o un diamante...

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anche se non è vero che:

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Se si aspira alla fama, lo scopritore di un numero primo di tale grandezza prenota il proprio posto nella storia della Teoria dei Numeri.

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che io sappia nessuno è diventato famoso, se non per 10 minuti, per aver scoperto un numero primo abbastanza grande.

ciao, ubermensch

da **GIOVANNI IL CHIMICO** » 05/06/2004, 15:51

Premetto che io non condivido tutto questo interesse verso i numeri primi, ma da qualche parte ho letto che essi sono l'equivalente degli atomi, ossia con essi si costituiscono tutti i possibili interi, e sono addirittura più fedeli alla definizione di atomo degli atomi veri e propri, in quanto sono veramente indivisibili....
Spesso nei topics di questo forum si parla delle congetture su come e per quale motivo questi numeri siano distribuiti, su quali siano le possibili regolarità e quali le eccezioni.
Secondo me proseguendo il paragone tra numeri primi e atomi la natura stessa ci risponde.
La tavola periodica, considerata la più grande innovazione nella storia della chimica fino alle teorie quantistiche, che dovrebbe ordinare gli atomi in base alle loro caratteristiche, è in realtà piena zeppa di eccezioni, ad esempio particolari disposizioni elettroniche o di riempimento degli orbitali, tanto che in certi periodi quasi ogni atomo fa caso a sè, eppure tutti sono accumunati dal fatto di essere costituiti solo di particelle elementari.
Nessuno cerca una regola generale che preveda tutte queste eccezioni, però ogni singolo atomo è spiegabile e spesso le sue caratteristiche fisiche sono dimostrabili sia sperimentalmente che matematicamente...
Secondo me i numeri primi sono proprio la stessa cosa, sono gli atomi del pensiero matematico.

da **Cygni_61** » 05/06/2004, 20:04

<BLOCKQUOTE id=quote>citazione:<hr height=1 noshade id=quote>Secondo me i numeri primi sono gli atomi del pensiero matematico.

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Bella questa definizione... Posso usarla nel mio prossimo articolo? :-)

Luigi

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