Sottoanelli di ZxZ

[prime_number]

Ho il seguente problema, vorrei sapere se le mie conclusioni sono giuste o no, nel secondo caso perchè no .

Devo trovare i sottoanelli di ZxZ. Affinchè un sottoinsieme A di ZxZ sia un sottoanello è necessario che
- (1,1) , (0,0) appartengano ad A
- per ogni a,b appartenenti ad A, a+b, ab appartengono ad A
- per ogni a appartenente ad A esiste (-a) tale che a+(-a)=(0,0)

Sottoanello banale: ZxZ
Altro sottoanello: {(k,k) / k appartiene a Z}

A questo punto: Teorema
Se B è un anello, b appartiene a B e m appartiene a Z => mb appartiene a B.
Dimostrazione (per induzione) (con 0_b indicherò lo 0 dell'anello):
caso 1 : m=0 => mb=0_b per le proprietà di ogni anello
caso 2 : m>0
m=1 1b=b vero
Supponiamo sia vero per m-1
(m-1)b appartiene a B
(m-1)b + b deve appartenere a B per le proprietà di ogni anello, dato che la somma di due elementi qualsiasi di un anello è a sua volta elemento dell'anello.
caso 3 : m<0
mb= (-m)(-b)
(-m)=1 1(-b)=(-b) è un elemento di B, dato che per definizione per ogni elemento di B il suo opposto è elemento di B a sua volta
Supponiamolo vero per (-m)=n-1
(n-1)(-b) appartiene a B
(n-1)(-b) + (-b) deve appartenere a B perchè somma di due elementi di B

C.V.D.

Ora, dimostrato questo teorema, penso: se ogni sottoanello di ZxZ deve necessariamente contenere (0,0) e (1,1), allora conterrà anche tutti i loro multipli, ovvero k(0,0) e h(1,1) essendo k,h appartenenti a Z.

Quindi oltre a quei 2 sottoanello non dovrebbero essercene altri!

Dico bene? Il mio ragionamento è corretto?

Se potete rispondetemi entro lunedì grazie!

Paola

[Mistral]

Ho il seguente problema, vorrei sapere se le mie conclusioni sono giuste o no, nel secondo caso perchè no .

Devo trovare i sottoanelli di ZxZ. Affinchè un sottoinsieme A di ZxZ sia un sottoanello è necessario che
- (1,1) , (0,0) appartengano ad A
- per ogni a,b appartenenti ad A, a+b, ab appartengono ad A
- per ogni a appartenente ad A esiste (-a) tale che a+(-a)=(0,0)

Sottoanello banale: ZxZ
Altro sottoanello: {(k,k) / k appartiene a Z}

.....

Paola

L'anello
$A_[0]={(k,k) : k inZ}$
è una copia isomorfa di $Z$ ed ogni anello di caratteristica 0 ne contiene una in particolare quindi anche ogni sottoanello di $ZxZ$.

Se $A$ è un anello diverso da $A_[0]$, allora contiene $A_[0]$ ed un elemento $(a,b)$ con $a ne b$, quindi contiene $(|a-b|,0)$ e $(0,|a-b|)$. Se definiamo con $d =min{|a-b|: (a,b) in A}$, si ha che $A=A_[d]={h(d,0)+k(1,1): h,k in Z}$. Infatti se supponi per assurdo che non sia così avresti una coppia $(f,g)$ tale che $|f-g|/d notin Z$ quindi applicando l'algoritmo della divisione avresti che $|f-g|=qd+r$ con $d > r ge 0$, da cui è facile dedurre che $(r,0), (0,r) in A$, il che contraddice la definizione di $d$. Quindi si ha che $(f,g)=(f-g,0)+(g,g)=h(d,0)+g(1,1) in A_[d]$.

In sintesi se $A$ è un sottoanello di $ZxZ$, allora esiste $d in Z$ con $d>0$, tale che $A=A_[d]$ .

Notare che $A_[1]=ZxZ$.

Mi sembra che il ragionamento fili voi che ne pensate?


Saluti

Mistral

[prime_number]

Uhm... Si legge molto male e non ho capito tutto anche per questo.. Perchè non vedo le formule? Se puoi spiegarlo in modo un po' più semplice per me è meglio scusa il disturbo

Paola