Ho il seguente problema, vorrei sapere se le mie conclusioni sono giuste o no, nel secondo caso perchè no .
Devo trovare i sottoanelli di ZxZ. Affinchè un sottoinsieme A di ZxZ sia un sottoanello è necessario che
- (1,1) , (0,0) appartengano ad A
- per ogni a,b appartenenti ad A, a+b, ab appartengono ad A
- per ogni a appartenente ad A esiste (-a) tale che a+(-a)=(0,0)
Sottoanello banale: ZxZ
Altro sottoanello: {(k,k) / k appartiene a Z}
A questo punto: Teorema
Se B è un anello, b appartiene a B e m appartiene a Z => mb appartiene a B.
Dimostrazione (per induzione) (con 0_b indicherò lo 0 dell'anello):
caso 1 : m=0 => mb=0_b per le proprietà di ogni anello
caso 2 : m>0
m=1 1b=b vero
Supponiamo sia vero per m-1
(m-1)b appartiene a B
(m-1)b + b deve appartenere a B per le proprietà di ogni anello, dato che la somma di due elementi qualsiasi di un anello è a sua volta elemento dell'anello.
caso 3 : m<0
mb= (-m)(-b)
(-m)=1 1(-b)=(-b) è un elemento di B, dato che per definizione per ogni elemento di B il suo opposto è elemento di B a sua volta
Supponiamolo vero per (-m)=n-1
(n-1)(-b) appartiene a B
(n-1)(-b) + (-b) deve appartenere a B perchè somma di due elementi di B
C.V.D.
Ora, dimostrato questo teorema, penso: se ogni sottoanello di ZxZ deve necessariamente contenere (0,0) e (1,1), allora conterrà anche tutti i loro multipli, ovvero k(0,0) e h(1,1) essendo k,h appartenenti a Z.
Quindi oltre a quei 2 sottoanello non dovrebbero essercene altri!
Dico bene? Il mio ragionamento è corretto?
Se potete rispondetemi entro lunedì grazie!
Paola