Algebra

[Valerio Capraro]

due esercizietti per il week-end.... credo d'averli risolti ma non sono sicuro...

1) Sia f un polinomio di grado n su un campo E di caratteristica 0 e sia F il suo campo di spezzamento. Dimostrare che se [F:E] > n allora il gruppo di Galois Galo(F:E) non è abeliano

2) sia a algebrico su Q ed E un campo massimale tra i campi contenuti nella chiusura algebrica di Q e non contenenti a. Dimostrare che ogni estensione finita di E è ciclica

ciao, ubermensch

[Valerio Capraro]

vabbè... quasi quasi metto le mie soluzioni...

1) Le ipotesi su E ed F garantiscono che |Gal(F:E)|=[F:E]>n. Poichè Gal(F:E) < Sn, allora n>2. Inoltre, poichè [F:E]>n, allora f è riducibile su E. Sia f=gh, allora o g o h hanno grado >=2. Supponiamo sia h ad averlo. Fisso la seguente notazione

- G,H sono rispettivamente i campi di spezzamento di g ed h
- a è una radice di g in G e b,c sono sue radici distinte di h in H
- G1 e G2 sono rispettivamente i gruppi di Galois di G su E e di H su E
- sigma1 un elemento di G1 e sigma2 un elemento di G2 definito da sigma2(b)=c
- phi1 un elemento di Gal(F:E) ottenuto come estensione di sigma1 in modo che phi(b)=b e phi(c)!=c
- phi2 un elemento di Gal(F:E) ottenuto come estensione di sigma 2.

Con queste posizioni si ha (phi1 ° phi2)(b) != c e (phi2 ° phi1)(b) = c. CVD.

che ve ne pare??

[Valerio Capraro]

2) Sia F una estensione finita di E, dal teorema dell'elemento primitivo, allora F=E[b] per un qualche b. Cominciamo col mostrare che esiste un naturale n tale che b^n sta in E.
Considero la torre di campi

E[b] >= E[b^2] >=....... >E

se tutte tali inclusioni sono uguaglianze allora b sta in E, altrimenti esiste k tale che E[b] > E[b^k]. Considero allora la torre:

E[b] > E[b^k] >= E[b^2k] >= ...... E

se tutte tali inclusioni tranne la prima sono uguaglianze allora b^k sta in E, altrimenti esiste h tale che E[b^k] > E[b^h]....

ripetendo il procedimento troverò un n tale che b^n sta in E, perchè altrimenti avrei infinite estensioni intermedie fra E ed E[b].

A questo punto considero il polinomio X^n - b^n in E[X]. Sia z una radice primitiva n-esima dell'unità, osservo che z appartiene ad E[b] in quanto o z=a^s per qualche s, oppure, se z !=a^s e z non appartiene ad E, potrei fare l'estensione E[z] di E che è una estensione non banale e non contiene a, contraddicendo così la massimalità di E fra i campi che non contengono a.

Quindi E[b] contiene tutte le radici distinte di X^n - b^n che sono della forma bz^k . Sia sigma un elemento del gruppo di Galois allora sigma è determinato univocamente dall'immagine di b, ovvero dal k dell'esponente. Quindi definisco

psi: Gal(E[b]:E) --> Zn tale che psi(sigma)=k

si verifica subito che psi è un omomorfismo di gruppi e che è iniettivo. quindi Gal è ciclico in quanto si identifica ad un sottogruppo di un gruppo ciclico.

ihih.. carina no?? speriamo giusta


ciao, ubermensch