Prblema con i numeri complessi elevati ad n

[Lando]

Si! Il binomio di newton lo conosco!

[Lando]

Prima ti sviluppi i numeri dentro alle parentesi ed hai che
$z_1=1+i=sqrt{2}e^{i\pi/4}$
$z_2=1-i=sqrt{2}e^{-i\pi/4}$
Per la formula di de moivre si ha: $ \rho^n e^{i n\theta}=\rho^n(cos(n\theta)+isin(n\theta))=>z_1=sqrt{2}(cos(n\pi/4)+isin(n\pi/4));z_2=sqrt{2}(cos(-n\pi/4)+isin(-n\pi/4))=sqrt{2}(cos(n\pi/4)-isin(n\pi/4))$
Quindi si ha alla fine $z_1+z_2=sqrt{2}(cos(n\pi/4)+isin(n\pi/4))+sqrt{2}(cos(n\pi/4)-isin(n\pi/4))=2^{({n+2}/2)}cos(n\pi/4)$

Ciao! Ho qualche problema nella visualizzazione: sotto la radice mi appare un quadrato blu nero e non capisco cosa è sotto la radice e cosa no!

Ho deciso di usare questa risoluzione e amen se non abbiamo rivisto tutto in classe! Però non sono riuscito a capire anche come hai trasformato 1 + i = ???

Mi potete aiutare? Questo esercizio mi sta facendo letteralmente impazzire!

e poi alla fine come fa a sparire la radice???? Cioè l'utlimo passaggio della somma fra i due numeri non riesco prirpio a capirlo come dalla somma esca quel risultato!

[cavallipurosangue]

Leggi qui: https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=6287
Cmq ho trasformato $1+i=sqrt{2}(cos(\pi/4)+isin(\pi/4))=\sqrt{2}e^{(i\pi/4)}$

[cavallipurosangue]

Per la radice si ha che $sqrt{2}=2^{1/2}$
Io ho fatto questo passaggio

[leev]

Salve
cmq penso che nell'ultimo passaggio quel $2^((n+2)/2)$ volesse essere semplicemente un $2*2^(1/2)$ cioè un $2^(3/2)$
No?

Ciao!

[cavallipurosangue]

Si avete ragione non sono stato del tutto chiaro, vado a correggere..

[Tex87]

qualcuno mi può dire per favore come faccio a trovare le radici di queste equazioni complesse in forma trigonometrica:
z^5=1-i; (z^2-2i-2)^3=0;

devo inoltre rappresentarle nel piano complesso!!!!!!!!!!!!!!

GRAZIE!!!!

[carlo23]

qualcuno mi può dire per favore come faccio a trovare le radici di queste equazioni complesse in forma trigonometrica:
z^5=1-i; (z^2-2i-2)^3=0;

devo inoltre rappresentarle nel piano complesso!!!!!!!!!!!!!!

GRAZIE!!!!

la prima la puoi risolvere così, cambi la variabile $z=re^(-ix)$ e ottieni

$z^5=r^5e^(-5ix)=r^5cos5x-ir^5sin5x=1-i$

e separando la parte reale da quella complessa hai

$r^5cos5x=1=r^5sin5x=1$

da cui $x=pi/20$ e $r=(1/(cos(pi/4)))^(1/5)$ infine $z=(1/(cos(pi/4)))^(1/5)cos(pi/20)-ir=(1/(cos(pi/4)))^(1/5)sin(pi/20)$

[cavallipurosangue]

Io non sono d'accordo completamente, in quanto nei complessi una radice ammette un numero di soluzioni pari al suo indice, in questo caso 5. Quindi posto un intero $k\in[0,4]$ :
$z^5=1-i=\sqrt{2}(cos(\pi/4)-isin(\pi/4))=>z=2^{1/{10}}(cos({\pi/4+2k\pi}/5)-isin({\pi/4+2k\pi}/5))$
Le soluzioni cercate saranno quindi:
${(z_0=2^{1/{10}}(cos(\pi/{20})-isin(\pi/{20}))),(z_1=2^{1/{10}}(cos({9\pi}/{20})-isin({9\pi}/{20}))),(z_2=2^{1/{10}}(cos({17\pi}/{20})-isin({17\pi}/{20}))),(z_3=2^{1/{10}}(cos({5\pi}/{4})-isin({5\pi}/{4}))),(z_4=2^{1/{10}}(cos({17\pi}/{10})-isin({17\pi}/{10}))):}$