Algebra

[Ranze]

AIUTOOOOOOOO!!! Non so da dove cominciare!!!!!

F=campo numerico. a=numero complesso. Dimostrare che a è algebrico su F(b), con b=a^3+3a-1 e poi con b=(a^3-3a+2)/(a-3)

F=Q(V2,V5) (sarebero selle radici quadrate quelle V!!!!!! ) trova a appartenente a F tale che F=Q(a).

F campo incluso in C , f(x) funzione razionale non costante su F e a in C numero in cui la funz è definita. Provare che a f(a) sono, su F entrambi algebrici o entrambi trascendenti.

Grazie 1000... sono davvero nei guai...

[Valerio Capraro]

1) nel primo caso basta osservare che a è radice del polinomio X^3 + 3X -1 - b che sta in F(b)[X]
nel secondo caso invece a è radice del polinomio X^3 + X(b-3) + 2 - 6b che sta in F(b)[X]

2) il gruppo di Galois di Q(V2,V5) è il Klein formato dai quattro automorfismi phi1,phi2,phi3,phi4 definiti da

2.1) phi1(V2) = V2 e phi(V5) = V5

2.2) phi2(V2) = -V2 e phi(V5) = V5

2.3) phi3(V2) = V2 e phi(V5) = -v5

2.4) phi4(V2) =-V2 e phi(V5) = -V5

in base alla dimostrazione del teorema dell'elemento primitivo occorre cercare un elemento le cui immagini sotto phi1,phi2,phi3,phi4 sono tutte distinte. Basta prendere V2 + V5, le immagini sono rispettivamente V2+V5, -V2+V5, V2-V5 e -V2-V5 che sono tutte distinte, per cui Q(V2,V5) = Q(V2+V5). Ti faccio notare che con esattamente lo stesso procedimento si prova che Q[V2,V5] =Q[nV2 + mV5] dove n,m sono due qualunque razionali non nulli.

3) boh! non ho mai studiato esplicitamente queste cose... vediamo se domani con un pò di lucidità mi viene in mente qualcosa...

ciao, ubermensch