delirii da matematici

[carlo23]

per p=2 non è definita la funzione.. solo per primi dispari..

per ora vediamo il caso p primo dispari.. poi si vedrà

Si è vero, volevo dire L3(n).

[carlo23]

Magari questo può essere utile:

$2^(n+1)$ divide sempre $a^(2^n)-1$ con $a$ dispari >1

Dimostrazione

per induzione

1)$n=0$: $1$ divide certamente $a^(1)-1$

2)se $2^(n+1)$ divide $a^(2^n)-1$ allora $2^(n+2)$ divide $a^(2^(n+1))-1$ infattti si ha

$a^(2^(n+1))-1=(a^(2^n)-1)(a^(2^n)+1)$

e essendo $a$ dispari la 2 segue immediatamente

Questo è sufficiente a dimostrare che Lp(n) diverge per n --> infinito, più precisamente si ha

$Lp(2^n)>n-1$

e

$Lp(n)>int(lg_2(n)-1)$

l'intuizione di ubermensch riguardo al legame con il logaritmo base 2 era giusta!

[Valerio Capraro]

bravo carlo... anche perchè il legame con lg2(n) discende proprio da quella proprietà!!

e c'è di più...

ho fatto delle verifiche fino a p=101 e n=2^20 e ho trovato il seguente risultato:

1) in tutti i casi Lp(n) è asintotico a lg2(n) (nel senso che fino a 2^20 il rapporto fra le due funzioni è molto vicino ad 1.. inoltre la convergenza sembra monotona decrescente per n>=12)

2) in alcuni casi (esattamente 11) si ha Lp(n) = lg2(n)

fantastico!!

quasi quasi aprirei la caccia alla dimostrazione!!

ciao

[carlo23]

quasi quasi aprirei la caccia alla dimostrazione!!

L'ideale sarebbe trovare una funzione F(n) > Lp(n) e tale che $lim sup_n F(n)-lg_2(n)=C $ dove C è una costante.

bravo carlo... anche perchè il legame con lg2(n) discende proprio da quella proprietà!!

Ma allora ci eri già arrivato.
Comunque in Teoria dei Numeri sono sorprendenti i legami che i logaritmi hanno con le funzioni aritmetiche.

[Valerio Capraro]

si.. ci ero già arrivato... alla fine, se ci pensi, il fatto che hai dimostrato è un caso particolare del teorema di Euler-Fermat..

beh.. se la trovi... batti un colpo

sinceramente è la prima volta che mi trovo davanti a stime asintotiche e non so neanche da che parte cominciare!!

ciao, ubermensch

[Valerio Capraro]

fra l'altro (scusa l'ignoranza), ma mi spiegheresti perchè trovare una F(n) tale che.... equivale a dimostrare che lg2(n) e Lp(n) sono asintotiche?

grazie

ciao, ubermensch

[carlo23]

fra l'altro (scusa l'ignoranza), ma mi spiegheresti perchè trovare una F(n) tale che.... equivale a dimostrare che lg2(n) e Lp(n) sono asintotiche?

grazie

ciao, ubermensch

Non ho detto che equivale a dire che sono asintotiche, intendevo dire che sarebbe l'ideale poichè l'errore F(n)-Lp(n) sarebbe sempre < C.

Ciao

P.S. ho fatto qualche progresso appena riesco lo posto.

[carlo23]

Definisco la funzione $L_a(n)$ esattamente come la tua funzione $L_p(n)$ solo senza la restrizione
che $p$ sia un numero primo (deve però essere dispari).

Poi definisco anche $l_a(n)$ come la funzione uguale a 1 se $(a^n-1)/(2n)$ è intero, 0 altrimenti.

è ovvio che si ha:

$L_a(n)=sum_(k=2)^n l_a(k)$

Adesso non è difficile dimostrare che

1) se $l_a(k)=1$ allora $l_a(k^n)=1 forall n$. Per dimostrarlo si può procedere come avevo fatto per le potenze di 2

2) se $k$ e $h$ sono primi tra loro e $l_a(k)=1$ e $l_a(h)=1$ allora $l_a(kh)=1$. Infatti si ha che

$a^(kh)-1=(a^k-1)(a^(k(h-1))+a^(k(h-2))+...+1)$

$a^(kh)-1=(a^h-1)(a^(h(k-1))+a^(h(k-2))+...+1)$

e il risultato segue dal fatto che $2k$ divide $a^k-1$ e $2h$ divide $a^h-1$ e $k$ e $h$ sono primi tra loro.


Se adesso definisco l'insieme $T(a)$ come l'insieme dei "generatori" cioè degli interi $b$ tali che $2b$ divide $a^b-1$
e che non esistano due interi $e$ e $f$ tali che $ef=b$ e che $(a^e-1)/(2e)$ $(a^f-1)/(2f)$ siano interi.

Dalla 1 e la 2 segue che tutti gli interi $b$ tali che $l_a(b)=1$ sono prodotti di soli "generatori". E quindi si ha

3)$L_a(n)=|U_a(n)|$

dove $U_a(n)={m<n: d|m " allora " d in T(a)}$

Adesso sorge spontaneo cercare di dimostrare se $T(a)$ ha o non ha un numero finito di elementi, sarebbe un analogo della dimostrazione
dell'infinità dei numeri primi.

Tra l'altro se $T(a)$ ha finiti elementi allora si può ottenere una formula esatta per $L_a(n)$


P.S. spero di non averti detto cose che sapevi già, ma soprattutto di non aver detto castronerie.

[Valerio Capraro]

ehm.. temo che devo perderci un pò di tempo per capire cos'hai scritto!!!...

comunque ti faccio i complimenti!! sei bravissimo!! ma hai solo 23 anni??

p.s. io per ora sto facendo solo verifiche al pc;

per la cronaca, fino a p=151 e n=2^25 sembra valere la seguente stima fantastica

lg2(n) + 3 >= Lp(n) >= lg2(n)

ciao

[carlo23]

ehm.. temo che devo perderci un pò di tempo per capire cos'hai scritto!!!...

comunque ti faccio i complimenti!! sei bravissimo!! ma hai solo 23 anni??

p.s. io per ora sto facendo solo verifiche al pc;

per la cronaca, fino a p=151 e n=2^25 sembra valere la seguente stima fantastica

lg2(n) + 3 >= Lp(n) >= lg2(n)

ciao

Grazie,grazie mille per i tuoi complimenti.

23 non sono i mie anni (altrimenti dovrei cambiare login tutte le volte che è il mio compleanno!), 23 era il numero primo preferito da John Nash.

Io veramente avrei quattordici anni... quindici il nove gennaio.