Questioni riguardanti $S^n$ e $A^n$.

Messaggioda Woody » 03/01/2006, 12:13

Salve a tutti voi! Avrei bisogno di un aiuto algebrico:
1) Quale è il massimo ordine di una permutazione in $S^n$ e in $A^n$ ?
2) Dato $k\in\mathbb(N)$, quante sono le permutazioni di ordine $k$ in $S^n$ e in $A^n$ ?
3) La dimostrazione che $A^n$ è semplice $\forall n\geq 5$ ?
Grazie a chiunque mi risponderà!
Woody
Woody
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 165 di 223
Iscritto il: 13/02/2005, 14:05
Località: Italy

Re: Questioni riguardanti $S^n$ e $A^n$.

Messaggioda Mistral » 06/01/2006, 09:13

Avevo il dubbio se rispondere perchè corrispondeva a fare un piccolo "Bignami" delle permutazioni, comunque ecco la sintesi che mi è venuta fuori. Non scrivo tutte le dimostrazioni ci vuole troppo tempo, mi sono limitato a degli accenni o degli enunciati.


Woody ha scritto:1) Quale è il massimo ordine di una permutazione in $S^n$ e in $A^n$ ?


Devi ricordarti che ogni permutazione si può scomporre nel prodotto di permutazioni cicliche (dette a cicli) disgiunte. I particolare i $2$-cicli sono detti scambi.

la generica permutazione ciclica di $S^n$ la scrivi come $(a_1,a_2,...,a_m)$ con $m leq n$ con il seguente significato: $a_i rightarrow a_{i+1}$ e $a_mrightarrow a_{1}$ tramite la permutazione. Una permutazione ciclica di ciclo $m$ ha ordine m. Quindi il massimo ordine è $n$ .

Woody ha scritto:2) Dato $k\in\mathbb(N)$, quante sono le permutazioni di ordine $k$ in $S^n$ e in $A^n$ ?

devi calcolare i clicli disgiunti di lunghezza $k$ e poi considerare tutte le possibili composizioni, tiene presente che i cicli disgiunti commutano quindi non serve considerare l'ordine. Ora fai tu :wink:
Woody ha scritto:3) La dimostrazione che $A^n$ è semplice $\forall n\geq 5$ ?

Ogni $k$-ciclo (permutazione ciclica di ordine $k$) si scompone nel prodotto di scambi ($2$-cicli), quindi ogni permutazione di scompone nel prodotto di scambi, gli elementi di $A^n$ sono gli permutazioni con un numero di scambi pari. $A^n$ è un gruppo normale e si dimostra che per $n geq 5$ ogni sottogruppo normale di $S^n$ ha come sottogruppo $A^n$. Segue che $A^n$ è semplice. Infatti se $H$ è un sottogruppo normale di $A^n$ se consideri $bar{H}=cap{sigma^{-1}H sigma : sigma in S^n}$ hai che è normale in $S^n$ quindi contiene $A^n$, ed è allo stesso tempo contenuto in $A^n$ da cui segue il risultato.


Saluti

Mistral
Avatar utente
Mistral
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 246 di 287
Iscritto il: 11/02/2004, 19:32
Località: Vercelli

Messaggioda Woody » 06/01/2006, 11:58

Quindi il massimo ordine è $n$

Consideriamo: $\sigma = (12)(34567) \in S^7$ . Poichè l'ordine del prodotto di permutazioni disgiunte è il minimo comune multiplo degli ordini, otteniamo:
$|\sigma| = mcm(|(12)|,|(34567)|) = mcm(2,5) = 10 > 7$ .
Ti ringrazio comunque molto per l'aiuto, specie per la dimostrazione che $A^n$ è semplice.
Saluti,
Woody
Woody
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 166 di 223
Iscritto il: 13/02/2005, 14:05
Località: Italy

Messaggioda Mistral » 06/01/2006, 17:52

Woody ha scritto:
Quindi il massimo ordine è $n$

Consideriamo: $\sigma = (12)(34567) \in S^7$ . Poichè l'ordine del prodotto di permutazioni disgiunte è il minimo comune multiplo degli ordini, otteniamo:
$|\sigma| = mcm(|(12)|,|(34567)|) = mcm(2,5) = 10 > 7$ .
Ti ringrazio comunque molto per l'aiuto, specie per la dimostrazione che $A^n$ è semplice.
Saluti,


Si ok vero ero andato a memoria senza dedurlo dal fatto che ogni ciclo ha come ordine la lunghezza del ciclo. Quindi vale la medesima correzione per il calcolo del numero permutazioni di ordine $k$. Comunque il problema non è banale infatti esiste una funzione che ne definisce il massimo ordine la variare di $n$

http://mathworld.wolfram.com/LandausFunction.html

Davvero interessante! non ci avevo mai riflettuto :).

Comunque calcolate tutte le possibili partizioni di $n$, ognuna di queste definisce un ordine per gli elementi di $S^n$, infatti le permutazioni tra loro coniugate hanno lo stesso ordine.

Saluti

Mistral
Avatar utente
Mistral
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 248 di 287
Iscritto il: 11/02/2004, 19:32
Località: Vercelli


Torna a Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite